Ana içerik

Hızlı modüler üs alma

Google Classroom

Eğer B 2'nin bir kuvvetiyse, A^B mod C'yi hızlıca nasıl hesaplarız ?

Modüler çarpmanın kurallarını kullanırsak:

ör. A^2 mod C = (A * A) mod C = ((A mod C) * (A mod C)) mod C

Bunu 7^256 mod 13 hızlıca hesaplamak için kullanabiliriz

7^1 mod 13 = 7
7^2 mod 13 = (7^1 *7^1) mod 13 = (7^1 mod 13 * 7^1 mod 13) mod 13

Önceki 7^1 mod 13 cevabımızı bu denklem ile değiştirebiliriz.

7^2 mod 13 = (7 *7) mod 13 = 49 mod 13 = 10
7^2 mod 13 = 10

7^4 mod 13 = (7^2 *7^2) mod 13 = (7^2 mod 13 * 7^2 mod 13) mod 13

Önceki 7^2 mod 13 cevabımızı bu denklem yerine koyabiliriz.

7^4 mod 13 = (10 * 10) mod 13 = 100 mod 13 = 9
7^4 mod 13 = 9

7^8 mod 13 = (7^4 * 7^4) mod 13 = (7^4 mod 13 * 7^4 mod 13) mod 13

Önceki 7^4 mod 13 cevabımızı bu denklem ile değiştirebiliriz.

7^8 mod 13 = (9 * 9) mod 13 = 81 mod 13 = 3
7^8 mod 13 = 3

Bu şekilde, önceki sonuçları bu denklemlerle değiştirerek devam ederiz.

... 5 yineleme sonunda:

7^256 mod 13 = (7^128 * 7^128) mod 13 = (7^128 mod 13 * 7^128 mod 13) mod 13
7^256 mod 13 = (3 * 3) mod 13 = 9 mod 13 = 9
7^256 mod 13 = 9

Bu bize B'nin 2'nin kuvveti olduğu verildiğinde, A^B mod C 'yi hızlıca hesaplamak için bir metod verir.

Bununla birlikte, B 2'nin kuvveti değilken modüler üst almayı daha hızlı yapmak için bir metoda ihtiyacımız var.

Herhangi bir B için A^B mod C'yi hızlıca nasıl hesaplarız?

1. Adım: B'yi ikili sistemde yazarak 2'nin üstlerine böl

En sağdaki basamaktan başla, k=0 ve her basamak için:

Eğer basamak 1 ise, 2^k için parçaya ihtiyacımız vardır, değilse yoktur
k'ye 1 ekle ve soldaki basamağa geç

2. Adım: İki ≤ B'nin katlarına göre mod C'yi hesapla

5^1 mod 19 = 5

5^2 mod 19 = (5^1 * 5^1) mod 19 = (5^1 mod 19 * 5^1 mod 19) mod 19
5^2 mod 19 = (5 * 5) mod 19 = 25 mod 19
5^2 mod 19 = 6

5^4 mod 19 = (5^2 * 5^2) mod 19 = (5^2 mod 19 * 5^2 mod 19) mod 19
5^4 mod 19 = (6 * 6) mod 19 = 36 mod 19
5^4 mod 19 = 17

5^8 mod 19 = (5^4 * 5^4) mod 19 = (5^4 mod 19 * 5^4 mod 19) mod 19
5^8 mod 19 = (17 * 17) mod 19 = 289 mod 19
5^8 mod 19 = 4

5^16 mod 19 = (5^8 * 5^8) mod 19 = (5^8 mod 19 * 5^8 mod 19) mod 19
5^16 mod 19 = (4 * 4) mod 19 = 16 mod 19
5^16 mod 19 = 16

5^32 mod 19 = (5^16 * 5^16) mod 19 = (5^16 mod 19 * 5^16 mod 19) mod 19
5^32 mod 19 = (16 * 16) mod 19 = 256 mod 19
5^32 mod 19 = 9

5^64 mod 19 = (5^32 * 5^32) mod 19 = (5^32 mod 19 * 5^32 mod 19) mod 19
5^64 mod 19 = (9 * 9) mod 19 = 81 mod 19
5^64 mod 19 = 5

3. Adım: Modüler çarpma özelliklerini kullanarak hesaplanmış mod C değerleri ile birleştir

5^117 mod 19 = ( 5^1 * 5^4 * 5^16 * 5^32 * 5^64) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5^1 mod 19 * 5^4 mod 19 * 5^16 mod 19 * 5^32 mod 19 * 5^64 mod 19) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5 * 17 * 16 * 9 * 5 ) mod 19
5^117 mod 19 = 61200 mod 19 = 1
5^117 mod 19 = 1

Notlar:

Daha fazla optimizasyon tekniği bulunmaktadır ancak bunlar bu makalenin kapsamı dışındadırlar. Not edilmelidir ki, kriptografide modüler üst alma uygulandığında, B> 1000 kuvvetlerinin kullanılması alışılmadık değildir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Bilgisayar Bilimi

Konu: Bilgisayar Bilimi > Ünite 2