Modüler toplama ve çıkarma

A=14, B=17, C=5 olsun

Doğrulayalım: (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
   SOL = Sol Taraftaki Denklem
   SAĞ = Sağ Taraftaki Denklem

SOL = (A + B) mod C
SOL = (14 + 17) mod 5
   SOL = 31 mod 5
   SOL = 1

SAĞ = (A mod C + B mod C) mod C
   SAĞ = (14 mod 5 + 17 mod 5) mod 5
   SAĞ = (4 + 2) mod 5
   SAĞ = 1

Aşağıdaki şekli inceleyin. Eğer 12+9 mod 7'yi hesaplamak istersek kolayca modüler çemberde saat yönünde 12+9 adım ilerleriz (aşağıda sol alttaki şekilde gösterildiği gibi).

Kestirme yolu uygulayarak modüler çemberde her 7 adımda aynı konuma denk geldiğimizi gözlemleyebilirsiniz. Bu modüler çember etrafındaki tam turlar bizim son konumumuza katkı sağlamaz. Her bir mod 7 sayıyı hesaplayarak çemberdeki bu tam turları görmezden gelmiş oluyoruz (üstteki iki modüler çemberde gösterildiği gibi). Bu bize modüler çemberdeki son konumlarını belirleyecek olan 0'dan başlayarak saat yönünde ilerleyerek sayıları verecek.

Şimdi, yapmamız gereken sadece saat yönünde her bir sayının son konumuna katkısı kadar olan adımlarla verilen toplam sayı kadar ilerlemek (aşağı sağdaki modüler çemberde görüldüğü gibi). Genelde, bu metod herhangi iki tam sayıya ve herhangi bir modüler çembere uygulanabilir.

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C 'yi kanıtlayacağız
Bunu göstermemiz gerekir: SOL=SAĞ

Bölüm artan teoreminden hatırladığımız gibi, A ve B'yi bu şekilde yazabiliriz:

A = C * Q1 + R1, 0 ≤ R1 < C ve Q1 bir tam sayı iken. A mod C = R1
  B = C * Q2 + R2, 0 ≤ R2 < C ve Q2 bir tam sayı iken. B mod C = R2
(A + B) = C * (Q1 + Q2) + R1+R2

SOL = (A + B) mod C
   SOL = (C * (Q1 + Q2) + R1+ R2) mod C
  mod C'yi aldığımızda C'nin katlarını elemine edebiliriz
SOL = (R1 + R2) mod C

SAĞ = (A mod C + B mod C) mod C
  SAĞ = (R1 + R2) mod C

Modüler çıkarma için çok basit bir ispatımız bulunur