Ana içerik

Pixar'da Neler Oluyor?

Konu: Pixar'da Neler Oluyor? > Ünite 10

Ders 2: Animasyon Eğrilerinin Matematiği

Bonus: de Casteljau'nun algoritmasıyla ilgili denklemler

Zor soru: Casteljau algortimasıyla oluşturulan n. dereceden eğrilerin denklemlerini bulabilir misiniz?

Doğrunun parametrik denklemi

de Casteljau'nun algoritmasının birinci adımında, bir doğru üzerinde bir noktayı t cinsinden tanımlarız. Örneğin, iki nokta, start color #6495ed, A, end color #6495ed ve start color #6495ed, B, end color #6495ed, arasında bir doğrumuz varsa, o doğrunun üstünde bir P, left parenthesis, t, right parenthesis noktası tanımlayabiliriz.

Noktanın denklemi:

P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, start color #6495ed, A, end color #6495ed, plus, t, start color #6495ed, B, end color #6495ed

t 0'dan 1'e gittikçe, P, left parenthesis, t, right parenthesis start color #6495ed, A, end color #6495ed'dan start color #6495ed, B, end color #6495ed'ye doğruyu çizer. Denklem doğrusaldır, yani doğruyu 1, point derece bir eğri olarak düşünebiliriz.

2, point dereceden eğriler

2, point dereceden bir eğri (bir parabol) oluşturursak, üç nokta, start color #6495ed, A, end color #6495ed, start color #6495ed, B, end color #6495ed, ve start color #6495ed, C, end color #6495ed, kullanırız

Şimdi eğrinin üstündeki bir nokta için bu denklemi elde ediyoruz:

P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, squared, start color #6495ed, A, end color #6495ed, plus, 2, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, t, start color #6495ed, B, end color #6495ed, plus, t, squared, start color #6495ed, C, end color #6495ed

3, point dereceden eğriler

Dört nokta, (start color #6495ed, A, end color #6495ed, start color #6495ed, B, end color #6495ed, start color #6495ed, C, end color #6495ed ve start color #6495ed, D, end color #6495ed) kullanarak 3, point dereceden bir eğri oluşturursak, eğri üstündeki bir noktanın denklemi start color #6495ed, A, end color #6495ed, start color #6495ed, B, end color #6495ed start color #6495ed, C, end color #6495ed, ve start color #6495ed, D, end color #6495ed cinsinden mi olur?

P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

4, point dereceden eğriler

Beş noktayı, start color #6495ed, A, end color #6495ed, start color #6495ed, B, end color #6495ed, start color #6495ed, C, end color #6495ed, start color #6495ed, D, end color #6495ed ve start color #6495ed, E, end color #6495ed, kullanarak 4, point dereceden bir eğri çizersek ne olur?

P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

n, point dereceden eğriler

Şimdi bu denklemlerde n. dereceden bir eğriyi tanımlamak için n, plus, 1 puan kullanan, start color #6495ed, A, start subscript, 0, end subscript, end color #6495ed, comma, start color #6495ed, A, start subscript, 1, end subscript, end color #6495ed, comma, point, point, point, comma, start color #6495ed, A, start subscript, n, minus, 1, end subscript, end color #6495ed, comma, start color #6495ed, A, start subscript, n, end subscript, end color #6495ed, bir genel denklemi bulmamızı sağlayacak bir örüntü bulabiliyor muyuz birlikte bakalım.

Yukarıdaki denklemlerin her birisinde ilk terime bakın ve bir örüntü görüp göremediğinizi düşünün.

n. dereceden bir eğride start color #6495ed, A, start subscript, 0, end subscript, end color #6495ed'ın katsayısı ne olurdu?

Yukarıdaki denklemlerin her birisinde son terime bakın ve bir örüntü görüp göremediğinizi düşünün.

n. dereceden bir eğride start color #6495ed, A, start subscript, n, end subscript, end color #6495ed'nin katsayısı ne olurdu?

Şimdi, en zor kısmı: yukarıdaki denklemlerin her birisinde kalan terimlere bakın. Dikkat ederseniz, her terimde şu bulunmaktadır:

bir sabit
left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis'nin bir kuvveti
t'nin bir kuvveti

Örneğin, 2, point dereceden bir eğri için, start color #6495ed, A, start subscript, 1, end subscript, end color #6495ed terimi 2, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, t, onun için sabit terim 2'dir, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis'in üssü 1'dir, ve t'nin üssü 1'dir.

n, point dereceden bir eğrinin denklemindeki start color #6495ed, A, start subscript, i, end subscript, end color #6495ed teriminin katsayısında:

left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis'nin üssü nedir?

t'nin üssü nedir?

Ekstra Süper Bonus Görevi

start color #6495ed, A, start subscript, i, end subscript, end color #6495ed'nin sabit terimi için bir formül bulabilir misiniz? Bunu yaptıktan sonra, bütün bu parçaları n, point dereceden bir eğri için P, left parenthesis, t, right parenthesis'nin denkleminde birleştirebilir misiniz?

[İpucu]

[CEVAP]

Sıralama ölçütü: