Ana içerik

Konu: Pixar'da Neler Oluyor? > Ünite 10

Ders 2: Animasyon Eğrilerinin Matematiği

Bonus: de Casteljau'nun algoritmasıyla ilgili denklemler

Zor soru: Casteljau algortimasıyla oluşturulan n. dereceden eğrilerin denklemlerini bulabilir misiniz?

Doğrunun parametrik denklemi

de Casteljau'nun algoritmasının birinci adımında, bir doğru üzerinde bir noktayı

t

cinsinden tanımlarız. Örneğin, iki nokta,

A

B

, arasında bir doğrumuz varsa, o doğrunun üstünde bir

P (t)

noktası tanımlayabiliriz.

Noktanın denklemi:

P (t) = (1 - t) A + t B

t

0

'dan

1

'e gittikçe,

P (t)

A

'dan

B

'ye doğruyu çizer. Denklem doğrusaldır, yani doğruyu

1.

derece bir eğri olarak düşünebiliriz.

$2.$ ‍ dereceden eğriler

2.

dereceden bir eğri (bir parabol) oluşturursak, üç nokta,

A

B

, ve

C

, kullanırız

Şimdi eğrinin üstündeki bir nokta için bu denklemi elde ediyoruz:

P (t) = (1 - t)^{2} A + 2 (1 - t) t B + t^{2} C

$3.$ ‍ dereceden eğriler

Dört nokta, ( $A$ ‍, $B$ ‍, $C$ ‍ ve $D$ ‍) kullanarak $3.$ ‍ dereceden bir eğri oluşturursak, eğri üstündeki bir noktanın denklemi $A$ ‍, $B$ ‍ $C$ ‍, ve $D$ ‍ cinsinden mi olur?

P (t) =

$4.$ ‍ dereceden eğriler

Beş noktayı, $A$ ‍, $B$ ‍, $C$ ‍, $D$ ‍ ve $E$ ‍, kullanarak $4.$ ‍ dereceden bir eğri çizersek ne olur?

P (t) =

$n .$ ‍ dereceden eğriler

Şimdi bu denklemlerde

n

. dereceden bir eğriyi tanımlamak için

n + 1

puan kullanan,

A_{0}, A_{1}, …, A_{n - 1}, A_{n}

, bir genel denklemi bulmamızı sağlayacak bir örüntü bulabiliyor muyuz birlikte bakalım.

Yukarıdaki denklemlerin her birisinde ilk terime bakın ve bir örüntü görüp göremediğinizi düşünün.

$n$ ‍. dereceden bir eğride $A_{0}$ ‍'ın katsayısı ne olurdu?

Yukarıdaki denklemlerin her birisinde son terime bakın ve bir örüntü görüp göremediğinizi düşünün.

$n$ ‍. dereceden bir eğride $A_{n}$ ‍'nin katsayısı ne olurdu?

Şimdi, en zor kısmı: yukarıdaki denklemlerin her birisinde kalan terimlere bakın. Dikkat ederseniz, her terimde şu bulunmaktadır:

bir sabit
$(1 - t)$ ‍'nin bir kuvveti
$t$ ‍'nin bir kuvveti

Örneğin,

2.

dereceden bir eğri için,

A_{1}

terimi

2 (1 - t) t

, onun için sabit terim

2

'dir,

(1 - t)

'in üssü

1

'dir, ve

t

'nin üssü

1

'dir.

n .

dereceden bir eğrinin denklemindeki

A_{i}

teriminin katsayısında:

$(1 - t)$ ‍'nin üssü nedir?

$t$ ‍'nin üssü nedir?

Ekstra Süper Bonus Görevi

A_{i}

'nin sabit terimi için bir formül bulabilir misiniz? Bunu yaptıktan sonra, bütün bu parçaları

n .

dereceden bir eğri için

P (t)

'nin denkleminde birleştirebilir misiniz?

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Pixar'da Neler Oluyor?

Konu: Pixar'da Neler Oluyor? > Ünite 10

Doğrunun parametrik denklemi

2.‍ dereceden eğriler

3.‍ dereceden eğriler