1. İki Noktanın Ağırlıklı Ortalaması

Şu ana kadar sadece görsel ya da geometrik şeyler üzerine konuştuk. Yanlış anlamayın! Bunun kötü olduğunu söylemeye çalışmıyorum çünkü sanatçılar bu şekilde düşünür! Ama Pixar’da, bilgisayar programları da yazmak zorundayız ve sizin de bildiğiniz gibi, bilgisayarlar sayılar, denklemler ve cebir ile programlanır. Dolayısıyla bu iki farklı dünyayı nasıl bir araya getiririz, Yani görüntü ve geometri dünyasını, cebir ve sayı, denklem dünyasıyla nasıl bir araya getiririz bunu düşünmeliyiz. Aslına bakarsanız bu iki farklı dünyayı bir araya getirme fikri, kariyerimin başında beni bilgisayar grafiği alanına çeken şeydi! Cebir ve geometrinin birlikte hareket edip sanata dönüşmesi beni çok etkilemişti. Şimdi, parabol üzerinde yer alan noktaları hesaplamamıza yarayacak bir formül geliştireceğiz. Ve bu formülü kullanarak, buna benzeyen bilgisayar programları yazıp, ip sanatı doğrularını kullanmadan bir parabol çizebileceğiz. Bu formülü oluşturmak için düşünmemiz gereken ilk şey, ortalamalar ve orta noktalar konusundaki fikirlerimizi ağırlıklı ortalamaya genellemek. AB doğru parçamızı karşımıza alalım ve orta nokta yerine, buralarda bir yerlerde olan yani B’ye A’dan yaklaşık 2 kat daha yakın olan bir M noktası bulmaya çalışalım yani. Aslına bakarsanız, B’ye A’dan 2 kat yakın olması, kulağa karışık gelmesi dışında, özel bir şey değil. Bunun orta noktayla alakalı olmayan basit bir örnek olduğunu düşünün. Cebirsel olarak, M eşittir A artı B artı B Düzgün bir ortalama olması için bir de bunu 3’e bölmem gerek. Bunu, “A artı 2B” bölü 3 olarak daha basit şekilde yazabilirim. Devam edelim… Bu aynı zamanda, 1 bölü 3 A artı 2 bölü 3 B’ye de eşittir. 1 bölü 3 ile 2 bölü 3’ün toplamının, 1 olduğunu biliyoruz! Yani bu denklemi düzgün bir ortalama yapan özelliklerden biri de bu! Burası, işin cebir kısmı. Şimdi gelin geometriyle alakalı kısmına bakalım. Geometrik olarak, AM uzunluğunun oranı 2 bölü 3, MB uzunluğunun oranı da 1 bölü 3’tür. Cebirde, 2 bölü 3’ün B‘nin yanında, Geometride ise, B’nin karşısında olduğuna dikkatinizi çekmek istiyorum. İlk bakışta biraz kafa karıştırıcı gibi görünse de, düşündüğünüzde aslında son derece mantıklı! Çünkü burada B’nin önünde daha büyük bir katsayı olsaydı, M’nin B’ye daha yakın olması gerekirdi. Şimdi bunu biraz daha genellemek istiyorum ve bunun için, 2 bölü 3 yerine rastgele bir değişken olan t’yi kullanacağım. Cebirde, B’ye eşleşen katsayımız t olacak, anlaştık mı? Bunun düzgün bir ortalama olması için, A’nın önündekiyle t’nin toplamının da 1 olması gerekiyor. T ile toplandığınızda 1 eden şey nedir ? “1 eksi t”dir! Gördüğünüz gibi bu ifade, “1 eksi t” çarpı A artı “t çarpı B” haline geldi. Durumu cebirsel olarak genelledik. Geometri açısından bakacak olursak da, 2 bölü 3 yerine t, 1 bölü 3 yerine de “1 eksi t” yi kullanacağız. Şimdi, bu fikre biraz alışmanız için, buradaki interaktif uygulamayı kullanacağız. İstediğim şekilde çekiştirebileceğim bir doğru parçamız var. Burada, A’nın ve B’nin koordinatlarını görebiliyoruz. Ve şu an başlangıç pozisyonunda olduğumuz için, M noktası tam ortada. A ve B’nin önünde “sıfır virgül 5” var! Bu noktayı, doğru üzerinde oynattığımızda, t’nin değerinin değiştiğini görebilirsiniz. Buna göre, t’nin değişik değerlerinin, doğru üzerindeki değişik konumlarla bağlantılı olduğunu söyleyebilirim. Bu videoyu takip eden alıştırmalarda, ağırlıklı ortalama konusunu biraz daha detaylı inceleyeceğiz.