Üç noktanın ağırlıklı ortalaması

Şu ana kadar, karakterlerimizin şekillerini belirleyen yüzeyleri yaratırken, alt bölümlere ayırmanın nasıl işimize yaradığını öğrendik. Bu bölümde, “ağırlıklı ortalama” konusunu daha derinlemesine ele alacağız. Ve önceki sefer yaptığımız gibi, 3 boyutlu modele geçmeden önce, daha basit olan 2 boyutlu model ile başlayacağız. Bunu yaparken, alt bölümlere ayırmanın nasıl bir esneklik sağladığını göreceğiz. Yani başka bir deyişle, farklı miktarlarda ağırlıklarla oynayarak bir sürü değişik sonuç elde edebileceğiz. Ağırlıklı ortalama çalışmalarımıza devam edebilmek için, “çevre modelleme” dersimizde iki noktanın ağırlıklı ortalamasını nasıl bulduğumuzu hatırlayın. Ya da iyisi mi, biraz tekrar yaparak işe başlayalım. A ve B gibi 2 noktanın ağırlıklı ortalamasını “M noktası” olarak yazmıştık. Ve M’nin denklemini de “1 eksi t” çarpı A, artı “t çarpı B” şeklinde vermiştik. T katsayısı, “ağırlığı”, yani dolayısıyla da M’nin A ve B noktaları arasında nereye düştüğünü belirtiyor. Ayrıca şunu da hatırlayın, düzgün bir ortalama ifade edebilmek için, A ve B’nin önündeki katsayıların toplamı 1’e eşit olmalı. M’nin denklemini, daha fazla nokta eklememizi kolaylaştıracak şekilde tekrar yazabiliriz. Buna göre denklem, M eşittir “küçük a çarpı A” artı “küçük b çarpı B” bölü “küçük a artı küçük b” olur. İfadenin düzgün bir ortalama ifade edebilmesi için, küçük a artı küçük b” ile bölünmesi gerektiğine dikkat edin. Bu duruma geometrik açıdan bakacak olursak, A-M uzunluğunun M-B uzunluğuna oranının, “küçük b bölü küçük a” olduğunu görürüz. Şimdi bu durumu üç noktanın ortalaması için genelleyelim. M eşittir, “küçük a çarpı A” artı “küçük b çarpı B” artı “küçük c çarpı c” bölü “küçük a artı küçük b artı küçük c”. Geometrik açıdan bakarsak, burada bölünmüş alanların a, b ve c oranlarında olduğunu da görebiliriz. Burada, bütün ağırlıklar 1’miş, o yüzden M de tam olarak orta noktaya denk geliyor ve alanların üçü de birbirine eşit. Diyelim ki B’nin ağırlığının, A ve C’nin 2 katı kadar olmasını istiyoruz. Cebirsel olarak, denklemimiz M eşittir “A artı 2B artı C” bölü 4‘e eşit olur. Geometrik olarak ise, B’nin karşısına denk gelen alan, diğer iki üçgenin alanından 2 kat büyük olur. İşte bu şekilde ! B’nin ağırlığını 2’ye çıkarmak, M noktasını B’ye yaklaştırır. Ağırlığı 3’e çıkarmak, M’yi B’ye daha da yaklaştırır. Mesela A’nın ağırlığını 0 yapmak ise, onu artık önemsiz hale getirmek demektir. Bu durumda M noktası, B ve C arasındaki doğru üzerinde bir yere düşer. Cebir ve geometri arasındaki bu bağlantıyı gerçekten çok seviyorum. Bence inanılmaz güzel ve aynı zamanda çok çok kullanışlı gerçekten öyle. Bazen sorunun çözümü geometrik olarak daha kolay görünüyor. Bazen de cebirsel yaklaşım daha kolay olabiliyor. O yüzden her iki yaklaşımı da iyi bilmek önemli! Sıradaki alıştırmayla, bu kavramları ne kadar iyi anladığınızı test edebilirsiniz. Ah! Keşke tüm videoyu İspanyolca yapsaydım. Çok güzel olurdu.