Sürekli Bileşik Faizi Hesaplama Formülü

Arkadaşlar merhaba Diyelim ki 50 Lira borç bulmaya çalışıyoruz. Yani anaparamız 50 Lira 3 yıllığına borç alacağız. O halde zaman, yani yıl cinsinden t, 3’e eşit Ve diyelim ki faiz yılda bir kez tahakkuk etmeyecek. Yılda dört kez tahakkuk edecek. Yani 3 ayda bir. Faiz oranımız da Eğer yılda bir kez tahakkuk etseydi, %10 olacaktı Ama yılda dört kez tahakkuk edeceği için, ifadede de görüldüğü gibi, bunu 4’e böleceğiz Her devrede ne kadar faiz tahakkuk ettiğini böyle bulacağız %10, 0,10’la aynı şey oluyor bunu karıştırmayalım Şimdi bir ifade yazalım. Hatta lütfen videoyu duraklatın ve böyle bir borç aldığınızda geri ödemeniz gereken miktarı veren bir ifade yazmaya çalışın. 3 yıllığına 50 Liralık bir borç alıyorsunuz. Faiz yılda 4 kez tahakkuk ediyor. Her devrede tahakkuk eden faiz oranı, %10 bölü 4. 3 yılın sonunda toplam ne kadar ödemiş olursunuz? ona bakalım Yazalım. 50 Lira. Bu anaparanız. Bunu neyle çarpacağız? Daha doğrusu buna ne tahakkuk ettireceğiz? Her defasında... Her devrede... 3 çarpı 4 adet devrenin her birinde Süremiz 3 yıl. Her biri 4 devreye bölünmüş. O halde toplam 12 devre vardır İşte bu devrelerin her birinde tahakkuk edecek faiz, 1 artı buradaki r. Ondalık sayı olarak yazacağım. 0,10... Bölü, faizin bir yılda tahakkuk etme sayısı Şimdi, süre 1 yıl olsaydı, n’inci kuvvetini alacaktık. Süre sadece 1 yıl olsaydı. Yani 1 yılda 4 devre olduğuna göre, bu kuvvet de 4 olacaktı Ama süre, 3 yıl Yani burada kuvvet4 çarpı 3. kuvvet olacak. Videoyu duraklatıp bu ifadenin kaça eşit olduğunu hesap makinesiyle hesaplayabilirsiniz. Ama bu örneğin amacı, gerçek sayılar kullanarak ifadenin neden mantıklı olduğunu göstermek Anaparanız bu.Her devrede, bunu 1 virgül... 025’le çarpacaksınız Yani geri ödeyeceğiniz para her devrede %2,5 artacak. Ve bunu 12 kez tekrarlayacaksınız. Çünkü toplamda 12 devre var. Yılda 4 devre, çarpı 3 yıl. Yani bu ifade, geri ödemeniz gereken miktarı veriyor. Bunu biraz daha soyut terimlerle yazacak olursak P çarpı 1 artı Parantezi şimdiden kapatıyorum ki tekrar renk değiştirmem gerekmesin r bölü n, üzeri n çarpı t. Yani P, t, n ve r’lerinizi alıp bu ifadede yerine yazarsanız, geri ödemeniz gereken miktarı bulabilirsiniz Bir önceki videodan kalan bu ifadeyi görüyorsunuz n sonsuza giderken limitini almıştık Aynısını burada da yapalım Ve bunun ne anlama gelebileceğini düşünelim. Bu ifadenin n sonsuza giderken limitini alırsak. Bu kavramsal olarak ne anlama gelir? Yılı, çok çok çok küçük parçalara – sonsuz sayıda parçaya – bölüyoruz O halde şöyle diyebiliriz: “Bu, sürekli bileşik faizi hesaplamanın yoludur.” Çok büyüleyici bir şey bence bu. Süreyi sonsuz sayıda devreye bölecek olsak ve her bir devrede sonsuz küçük faizler tahakkuk ettirmek istesek ortaya çıkacak ifade bu olurdu. Ve gördüğünüz gibi bu, sınırı olmayan çılgın sonuçlar vermiyor bize o halde O halde bu ifadeden hareketle, sürekli bileşik faiz formülüne ulaşabiliriz.Ki bu formül finans ve bankacılık sektöründe çok yaygın olarak kullanılıyor Aslında finans ve bankacılık dışında da bir sürü yerde karşımıza çıkıyor. Mesela üstel büyümede, vesaire, vesaire Şimdi, bakalım bu ifadeyi bir formül haline nasıl getireceğiz. Bunu sadeleştirmek için ilk olarak “değişken değiştirme” yöntemini uygulayacağım. Bir değişken tanımlıyorum. Amaç, bu ifadeyi buna benzer bir biçime sokmak. Bir x değişkeni tanımlıyorum Ve diyorum ki x, r bölü n’in çarpmaya göre tersidir. ki burası, 1 bölü x olsun Yazıyorum: x eşittir n bölü r. x eşittir n bölü r. Bunu şöyle de yazabiliriz: n eşittir x çarpı r. Bu değişken değiştirme işlemini yaptığımız zaman x sonsuza giderken limit alırsak, n de sonsuza gider Veya n sonsuza giderken, x de sonsuza gider r bir sabit. r’nin verildiğini varsayıyoruz burada Değişik değerler alabilen terimimiz n. O halde, bu ifadeyi yeniden yazalım. Çok fazla üzerinize varmak istemiyorum ama, birazdan göreceğimiz formülün nereden geldiğine dair bir ipucu olsun . Bunu, x sonsuza giderken limit olarak yazalım. Limit x sonsuza giderken. Arkadaşlar bir sabitle bir değişkenin çarpımının limitini alırken, sabiti dışarı atabiliriz. Gönül rahatlığıyla yapabiliriz bunu .O halde P çarpı limit x sonsuza giderken. 1 artı. r bölü n, 1 bölü x’e eşit, demiştik 1 artı 1 bölü x, üzeri. n de x çarpı r idi Öyleyse, n eşittir x çarpı r. Şimdi yazayım Üzeri x çarpı r çarpı t. Bu aynı zamanda neye eşit? Bunu yeniden yazayım Bu kısmı kopyalayıp yapıştıracağım. Bu aynı zamanda şuna eşit olucak P çarpı... Parantez açalım. Çarpı... Yok, çok büyük oldu bu Çarpı limit. Buradaki limit yani. Bir ifadenin üssü olarak bu çarpımı yazmakla. Yani x çarpı r çarpı t yazmakla İfadenin önce x’inci kuvvetini, sonra onun da r çarpı t’inci kuvvetini almak aynı şey Üzeri r çarpı t. Üslü sayıların özelliklerinden biri bu Muhtemelen önceden biliyorsunuzdur. Bu iki ifade birbirine eşit. Bir defada birden çok adım attık ama umarım yeterince anlaşılır olmuştur. Yaptığım şey, şu özelliği kullanıyorum Limit x c’ye giderken f(x) üzeri xrt ifadesiyle Limit x c’ye giderken f(x) üzeri x, üzeri rt ifadesi aynı şeydir Peki bu parantezin içi neye eşit? Önceden biliyoruz. Tüm bu ifade, e’ye eşittir Müthiş bir şey değil mi? Sürekli bileşik faizin formülü bu. Yani bileşik faizle bir borç alırsak, geri ödememiz gereken miktar şudur Anaparamız, çarpı e, üzeri rt Evet Üzeri rt. Şimdi dilerseniz bunu somut bir örnek çözelim 50 Lira borç aldık. 3 yıl boyunca %10 faiz ödeyeceğiz. Ama faiz yılda dört kez değil, sonsuz kez tahakkuk edecek Buraya dikkat edelim sürekli bileşik faiz ödeyeceğiz yani. Bakalım ödeyeceğimiz toplam tutar ne olacak Şu olacak: 50 çarpı e, üzeri r Faiz oranımız yani r, 0,1. Parantez içinde yazayım. 0,1 çarpı süre. Yani çarpı 3 yıl. t’nin birimi “yıl”dı. Yıl olduğunu kabul etmiştik. Demek ki geri ödememiz gereken toplam para, 67 Yuvarlarsak, 67,49 Lira olacakmış. Bir sonraki videoda tekrardan görüşmek üzere arkadaşlar , hoşça kalın