Ters Fonksiyonu Bulalım: İkinci Dereceden

f x eşittir, x artı 2'nin karesi, artı 1 diye bir fonksiyonumuz var ve x büyük eşittir negatif 2 gibi kısıtlanmış bir Tanım Kümemiz var. Bu bizim fonksiyonumuzun tanımladığı yerdir ve biz onun tersini bulmak istiyoruz. Düşünü bakalım neden x negatiften daha büyük yada eşit olmak zorunda. Tam bir parabol olarak verilse, bunun tersini bulma imkanımız olmazmıydı? Bununla ilgili bir video yapacağım. Burada sadece tersini anlamalıyız. İlk videoda söylediğim gibi, ters bir parabol çözerken ilk bakta çizimini yapıyoruz. Yada eğer y eşittir, x artı 2'nin karesi, artı 1 diyebilseydik. Bu fonksiyon bana 1 x ve onunla kesişen bir y veriyor. Başka bir şekilde yapalım. Size bir y vereceğim ve bununla x'i eşleştireceğim. Aslında yaptığımız şey sadece x 'i y cinsinden çözmek, bunu bir defada yapalım. Yani yapmamız gereken ilk şey denklemin iki tarafından da 1 çıkarmak. y eksi x artı 2'nin karesine eşittir. Burada karakökü almak isteyebilirsiniz ve bu aslında zaten yapılacak en doğru şey olacak. Ama bu aşamada pozitif yada negatif bir kökü çekmek isteyip istemediğimizi düşünmemiz lazım. Bu yüzden x'in tanım kümesini, x büyük eşittir 2 şeklinde kısıtlıyoruz. Böylece burada ki bu değer x artı 2 , eğer x negatif 2'den büyük yada eşitse x artı 2 her zaman 0'dan büyük yada eşit olacaktır. Yani, buradaki ifade pozitifdir. Yani pozitif bir karemiz var. Biz gerçekten uygun tanım kümesinden x artı 2 almak istiyorsak , pozitif karakökünü almalıyız. Bundan sonraki bir videoda negatif bir karakökle örnek yapabiliriz. Bu yüzden pozitif bir karakök ekleyeceğiz ve burada iki taraftada karakök ifadesi koymamız yeterli. Yani y eksi 1'in karakökü x artı 2'ye eşit olacak. x konusunda bir kısıtlamamız olduğunu unutmayalım. x büyük eşittir negatif 2 diye bir ifademiz var. Ama y konusunda nasıl bir kısıtlamamız olmalı ? Burada ki grafiğe bakarsanız x eksi 2'den x'i eksi 2'ye eşit yada büyük olduğunu göreceksiniz. x eksi 2'ye eşit yada büyük ama neden ? Buradaki y değerlerinin değer kümesi peki nedir ? Grafikte görüldüğü gibi y ifadesi her zaman 1'den büyük yada eşir olacak. Buradaki terim her zaman 0'dan büyük yada 0'a eşit olacak. Yani, fonksiyonun alabileceği minimum değeri 1'dir. Bu yüzden x için her zaman eksi 2'den büyük yada eksi 2'ye eşit diyebiliriz ve y içinde 1'den büyük yada 1'e eşit olduğunu söyleyebiliriz. y her zaman 1'e eşit veya 1'den daha büyük. Yani fonksiyon buradakinden her zaman daha fazla veya eşit diyebiliriz yani 1'e. Bunu bu aşamada yazmak istememin sebebi şu: biliyorsunuz daha sonra x ve y'nin yerlerini değiştireceğiz. Yani burada daha x ve y'yi tam olarak çözemedik. Ama y'nin 1'e eşit veya 1'den büyük olduğunu yazabiliriz ve bu tabiri caizse bizim Tanım Kümemiz olacak. Yani y'nin 1'den büyük yada 1'e eşit olduğunu biliyoruz. Bu y için yaptığımız kısıtlama gitikçe daha önemli olacak çünkü burada tanım kümesi x. Ama tersi için tanım kümesi y değeri olacak. Ve sonra bir göz atalım, elimizde y eksi 1'in karakökü eşittir x artı 2 eşitliği var. Şimdi her iki taraftanda 2 çıkarabiliriz. Elimizde y eksi 1'in karakökü kaldı ve bir de y'nin 1'den büyük yada 1'e eşit olduğunu biliyoruz. Ve böylece y cinsinden x'i çözmüş olduk yada başka bir şekilde yazalım. x eşittir y eksi 1'in karakökü eksi 2'ye eşit olur ve y içinde şunu diyebiliriz 1'den büyük yada 1'e eşit. Şimdi yazdığım şeklini görebilirsiniz: y bu fonksiyonun tersi olacak olan girdidir. x yani çıkanda şimdi değer kümemiz oldu yani biz y'nin tersi fonksiyonu olarak bile yazabiliriz. Yani x, y eksi 1'in karakökü eksi 2'ye eşitir ve y 1'den büyük yada 1'e eşittir ve buda fonksiyonun tersidir. Ve bu zaten bizim cevabımız ama çoğu zaman insanlar x cinsinden cevap istiyor. Biz buraya isteğimiz şeyi koyabileceğimizi biliyoruz. Yani eğer a koyarsak a fonksiyonunun tersini almış oluruz. Böylece a eksi 1'in karakökü eksi 2 halini alacaktır. Bu koyduğumuz a'nın 1'den büyük yada 1'e eşit olduğunu varsayıyoruz. Ama biz buraya bir x koyabiliriz. Yani biz sadece y'yi x'e gore yeniden adlandırıyoruz ve sonra x fonksiyonunun tersini alacağız, şurayı vurgulayacağım. Sadece y'yi x ile yeniden isimlendirdiğimi gösteriyorum. Gerçekten ne isim koymak isterseniz koyun yinede x eksi 1'in karaköküne eşit olacak. eksi 2 için x 1'e eşit yada 1'den büyük olacak. Ve şimdi x'in ters fonksiyonu var. Grafik haline getirecek olursak, elimden gelenin en iyisini yapacağım yine her zaman ki gibi. Belkide yapılacak en kolay şey buraya bazı noktalar koymak yani x'in en küçük değeri 1'dir. Eğer 1 koyarsak 0 çıkar. Yani 1 ve eksi 2 bizim ters fonksiyonumuzun üstünde ve sonra biz 2'ye gidelim. 2 eksi 1, 1'dir yani kökü 1 oluyor eksi 2. Bu yüzden eksi 1 ve 2 burada ve şimdi bir düşünü bakalım eğer 5 olsaydı, tam kare almaya çalışıyorum 5 eksi 1, 4'tür ve 2, 2 daha çıkaralım 5 eksi 1, 4'tür karakökü de 2'dir eksi 2, 2 eksi 2'de 0 oldu. Yani 5 ve 0 noktası olacakmış. Ters fonksiyonun grafiği sadece x 1'den büyük yada 1'e eşit olduğu yerlerde tanımlanabilir. Yani bir grafiğin tersi şuna benzer bir şey olur. Evet biraz dağınık oldu, bunun gibi bir şey olacak aynen böyle. Ters fonksiyonların başında gördüğümüz gibi bunlar y eşittir x ekseni etrafında ki ayna görüntüleridir. y eşittir x grafiğini çizelim, y eşittir x bu çizgidir. Bu eksende ki ayna görüntüsü olduğunu farketmişinizdir. Burada 0'den 5'e kadar çizdik. Eğer x, 0'a eşitse 5 gider. Başka bir şekilde yapalım 5'den 0'a çiziyoruz bu o simetrik görüntünün nedenidir işte, aslında biz x ve y'nin yerlerini değiştirdik.