Kalan Teoremi: Çarpanları Kontrol Edelim

Sizce, x eksi 3, burada gördüğünüz dördüncü dereceden polinomun bir çarpanı olabilir mi? Bu sorunun cevabını, upuzun bir bölme işlemi yaparak bulabilirsiniz. Bu kocaman polinomu alırsınız, x eksi 3’e bölersiniz ve bu işlemin sonucunda bir kalan olup olmadığına bakabilirsiniz. Bu bölme işlemi kalanlı bir bölme işlemiyse, x eksi 3’ün polinomun, bu polinomun çarpanı olmadığını anlarsınız. Eğer, kalan yoksa da, bu polinomun x eksi 3’e tam bölündüğünü görüp, x eksi 3’ün bir çarpan olduğu sonucuna ulaşırsınız. Kısaca, X eksi 3, bir çarpansa, kalan sıfırdır, diyebiliriz. Biz, böyle bir polinomu birinci dereceden bir ifadeye, hatta birinci dereceden başka bir polinoma bölüp, kalanı bulmanın çok ama çok kısa bir yolunu biliyoruz! Öyle değil mi? “Polinomlarda kalan teoremi!” dediğinizi duyar gibiyim! İnşallah diyorsunuzdur. Hemen bu teoremi hatırlayalım, Px polinomunu, x eksi a ifadesine böldüğümüzde, kalan, Pa’dır. Yani, polinomun “a” için aldığı değer. Peki, bu örnek için konuşalım, a nedir? a, 3’e eşittir. O halde, polinomu, 3 ile değerlendirelim ve sonucun ne olduğunu bulalım. Eğer sonuç sıfır olursa bu, kalan olmadığı anlamına gelir. Yani, x eksi 3 bir çarpandır. Eğer, sonuç sıfırdan farklı olursa da, bu, bir kalan olduğu yani x eksi 3’ün bir çarpan olmadığını gösterir. Bir bakalım, 2 çarpı 3 üzeri 4, 3 üzeri 4, 81 eder. 2 çarpı 81, Eksi 11 çarpı 3’ün küpü, 3’ün küpü, 27. 11 çarpı 27, Evet, burada çok fazla işlem yapmamız gerekecek, Keşke daha kolay bir örnek seçseymişim. Neyse devam edelim. Artı 15 çarpı 9, Artı 4 çarpı 3, yani 12, Ve son olarak, eksi 12. 12'ler birbirini götürdü geriye, 2 çarpı 81. 2 çarpı 81, 162 eder, 11 çarpı 27 ise, 27 çarpı 10 desek, 270 eder, Buna 27 daha eklersek, 297 elde ederiz. Bir daha yapalım, 27 kere 10, 270, 27 daha ekledik, evet, 297, eksi 297. 90 artı 45 ise, 135. 162 artı 135, 297 eder. Ve bundan da, 297 çıkarırsam, geriye sıfır kalır! Ve kalan sıfır olduğu için de, X eksi 3, bu polinomun bir çarpanıdır! Hepsi bu, bu kadar kolay!