İkinci Dereceden Denklem (Delta) Formülünü Kullanalım: Çözüm Sayısı

x kare artı 14x artı 49 eşittir 0. Bu ikinci dereceden denklemi sağlayan x değerlerini bulalım. Bu denklemi çözmenin birçok yolu var. Denklemi çarpanlarına ayırıp x değerlerini bulabiliriz. Daha sonra da bu x değerlerini sayabiliriz. Ya da ikinci dereceden denklem formülünü uygulayabiliriz. Ama burada, x değerlerini tek tek bulmadan, bu denklem için kaç x değeri olduğunu bulmak istiyorum. İkinci dereceden denklem formülüne göre, ax kare, artı bx, artı c, 0'a eşit olacak. x eşittir, eksi b, artı eksi b kare, eksi 4ac'nin kare kökü, bölü 2a. Bu denklemin iki farklı cevabının olmasının sebebi, buradaki artı veya eksi işareti. Eğer b kare eksi 4ac pozitifse, yani 0'dan büyükse, ne olur? Karekökün içerisi pozitif. Bunu eksi b'ye eklediğimizde, kesrin payını elde ederiz. Ama bunu eksi b'den çıkarırsak, başka bir pay elde ederiz. Yani iki farklı sonucumuz olacak. Peki, b kare eksi 4ac sıfıra eşitse ne olur? Eğer 0'a eşitse, 0'ın karekökü 0 olduğundan, eksi b artı 0, veya eksi b eksi 0 olur. Ve 0 ekleyip çıkarmamız bir şey değiştirmeyeceğinden, eksi b'ye eşittir de diyebiliriz. Ve bu durumda tüm denklem, eksi b bölü 2a olur. Yani, b kare eksi 4ac, 0'a eşitse sadece bir sonucumuz olacak. Peki, b kare eksi 4ac, 0'dan küçükse ne olur? Eğer b kare eksi 4ac 0'dan küçük olursa, negatif bir sayının karekökünü almış oluruz. Ama bildiğimiz gibi, negatif sayıların karekökü yoktur. O yüzden bu işlemin reel bir çözüm kümesi yoktur da diyebiliriz. Buradaki denklemin içeriği hakkında biraz düşünelim. Buradaki b kare eksi 4ac'nin bir adı var. Bunun adı diskriminant. İkinci dereceden denkleminin bu kısmı, bize kaç farklı cevap olabileceğini gösterir. Yani bu denklemin kaç farklı sonucu olduğunu bulmaya çalışırsak, tüm denklemi incelememiz gerekmiyor. Denklemin sadece b kare eksi 4ac kısmını çözmemiz yeterli. Peki, b kare artı 4ac ne? Buradaki b, 14'e eşit. Yani 14'ün karesi, eksi 4, çarpı a... a da 1'e eşit olacak, çarpı c... c ise 49'a eşit. 14 çarpı 14 nedir? 4 çarpı 4, 16. 4 çarpı 1, 4. Artı 1... 56' ya eşit olur. Demekki 14 çarpı 14, eşittir 196' imiş. Buradaki 1'i görmezden gelebiliriz. 4 kere 49 kaçtır? 4 kere 9, 36. 4 kere 4, 16. Elde var 3 dedik , yani 196. Yani b kare eksi 4ac eşittir, 196 eksi 196. Yani 0. O zaman burada diskriminantın 0 olduğu durumu inceliyoruz. Bu durumda sadece bir cevap var. Eğer istersek, bu cevabı bulmaya çalışabiliriz. Burası, 0'ın kareköküne, yani 0'a eşit olur. Yani denklem, eksi b bölü 2a olur. Eksi b, eksi 14'e eşit. a'da 1 olduğundan, 2a, 2'ye eşit olacak. Yani cevap eksi 7 olur ve denklemin tek cevabı bu. Eğer sadece cevabın sayısını bulmak istiyorsak, b kare eksi 4ac'nin 0 olduğunu bulmamız gerekli. Bunu bulmanın farklı yolları da var. Bunu x artı 7, çarpı, x artı 7 şeklinde çarpanlarına da ayırabiliriz. Ve sonuç yine aynı olacaktır.