İkinci Dereceden Denklemler ile İlgili Sözel Soru: Üçgenin Boyutları

Üçgenin yüksekliği taban uzunluğundan 4 cm kısadır. Üçgenin alanı, 30 santimetre karedir. Yüksekliği ve taban uzunluğunu bulunuz. Güzel, bulalım... Alanı bulmak için biliyorsunuz formülümüz, alan eşittir, 1 bölü 2, çarpı, taban, çarpı yükseklik. bu bizim formülümüz. Tamam, önce bir düşünelim, üçgeni çizelim. Diyelim ki üçgenin taban uzunluğu b. O zaman bu da yükseklik. O zaman alan eşittir, 1 bölü 2 taban uzunluğu, çarpı yükseklik. A eşittir 1 bölü 2 b çarpı h . Ne diyeceksiniz? İlk cümlede bize üçgenin yüksekliğinin, taban uzunluğundan 4 cm kısa olduğu söyleniyor. O zaman Yükseklik eşittir, taban eksi 4 evet, ilk cümlede bize verilen bu. Üçgenin alanı 30 cm kare. Eğer tabanın yarısı ile, yüksekliği çarparsak, 30 cm kare elde ediyoruz. İlk cümlede bize üçgenin yüksekliğinin, taban uzunluğundan 4 cm kısa olduğu söyleniyor. o zaman yükseklik eşittir, taban eksi 4. İlk cümlede bize verilen bu. Üçgenin alanı 30 cm kare. Eğer tabanın yarısı ile, yüksekliği çarparsak, 30 cm kare elde ediyoruz. Ya da 30cm kare eşittir, yazalım böyle, 1 bölü 2 taban çarpı yükseklik diyebiliriz. Biliyoruz ki yükseklik tabandan 4 cm kısa. O zaman, h yazmak yerine bu bilgiyi oraya yazalım. O zaman şöyle yazalım, 30 eşittir b bölü 2, çarpı, b eksi 4. Güzel... Şimdi b'yi dağıtalım evet. 30 eşittir b kare bölü 2. Evet dikkat edin bu arada, b bölü 2 çarpı b eşittir, b kare bölü 2 eder, değil mi? Ve sonra, b bölü 2 çarpı eksi 4, eşittir eksi 2b, güzel... Kesirden kurtulmak için, eşitliğin iki tarafını da 2 ile çarpalım. İki tarafı da 2 ile çarpıyoruz. Eşitliğin sol tarafı 60 oluyor. Sağ taraf ne oluyor bakalım? 2 çarpı b kare bölü 2, b kare eder. eksi 2b çarpı 2, o da, eksi 4b edecek. Güzel... Şimdi ikinci dereceden bir denklemimiz var. Ve böyle bir denklemi çözmenin en iyi yolu, tüm terimleri bir tarafta toplayıp, denklemi 0'a eşit olarak yazmaktır. Ne yapacağız? O zaman iki taraftan da 60 çıkartalım. 0 eşittir b kare eksi 4b eksi 60 elde ediyoruz. Şimdi yapmamız gereken denklemi, iki çift terimlinin çarpımı olarak yazmak. Böylece çarpanlardan birinin ya da ikisinin de 0'a eşit olduğunu anlayabiliriz. O zaman, b kare eksi 4b eksi 60 ifadesini çarpanlarına ayıralım. Bulmak istediğimiz iki sayının toplamı eksi 4, çarpımı eksi 60 olmalı. Çarpımları negatif olduğuna göre, sayılardan birinin negatif olduğunu söyleyebiliriz. Demek ki bu iki sayının mutlak değerdeki farkı 4'müş. Peki şimdi, 60'ın çarpanlarını bulalım. 1 ve 60 birbirine çok uzak iki sayı. Bir tanesini negatif olarak alırsanız toplamda, artı 59 ya da eksi 59 elde edersiniz. 2 ve 30 hala çok uzaklar. 3 ve 20, hala çok uzaklar. Bir tanesini negatif olarak alırsanız toplamda eksi 17, ya da artı 17 elde edersiniz evet... 4 ve 15 deneyebiliriz. Hala çok uzak iki sayı, bir tanesini negatif alsak, eksi 11 ya da artı 11 elde ederiz. 5 ve 12, ,hala çok uzak. artı 7, eksi 7 elde ederiz. Evet, 6 ve 10. Bu olacak gibi duruyor. Değil mi? farkları 4 ve büyük sayının negatif olmasını istiyoruz ki, toplamları negatif olsun. Eğer sayıları 6 ve eksi 10 olarak alırsak, toplamları eksi 4 olur, evet, çarpımları ne eder? Eksi 60 eder. Tamam bunlar oluyor, o zaman denklemi, (b artı 6) çarpı (b eksi 10) olarak tekrar yazabiliriz. Dikkat edelim çünkü buradaki b, eşitlikte kullandığımız b'den farklı. Buradaki b'yi toplamı eksi 4 olan iki sayıdan birini temsilen kullandım. Bu farklı bir b. x ve y de diyebilirdim. Aslında o şekilde yazalım, evet... x artı y eşittir eksi 4 ve x çarpı y eşittir eksi 60 O zaman elimizde (b artı x) çarpı (b artı y), x eşittir 6, ve y eşittir eksi 10. Bunu gruplayarak da çözebilirsiniz unutmayın! b artı 6, 0, ya da b eksi 10 eşittir 0. Eğer iki taraftan da 6 çıkarırsak, b eşittir eksi 6 oluyor. Ya da iki tarafa da 10 eklerseniz b eşittir 10 oluyor. Bunu çözmenin bir diğer yolu ise eksi 4b'yi bileşenlerine ayırmak. Bunu, 0 eşittir b kare artı 6 b eksi 10 b olarak yazabiliriz. Daha sonra çarpanlarına ayırabiliriz. Bu ilk iki terimi birlikte, ikinci iki terimi de yine birlikte gruplayalım. b'yi parantezin dışına çıkaralım. b çarpı (b artı 6), evet şimdi burada da, eksi 10'u parantezin dışına çıkartalım. Eksi 10 çarpı (b artı 6). Evet tüm bu işlemlerin sonucu 0. Şimdi b artı 6 çarpanını ayıralım. O zaman, 0 eşittir, b eksi 10, çarpı, b artı 6 olarak yazabiliriz. İki türlü de sonuçlar, b eşittir eksi 6 ve b eşittir 10 oluyor. Bu arada unutmayın, bu bir kelime problemi. Yani bulduklarımızın problemin içeriğine uyup uymadığını düşünmeliyiz yani mantıklı duyuluyorlar mı diye bakmalıyız. Şimdi üçgenin uzunluklarından ve yükseklikten bahsediyoruz. Negatif bir uzunluk yazamayız. O zaman eksi 6'yı saymayıp tek bir sonuç elde edebiliriz. Tek olası taban uzunluğu 10. Bizden yüksekliği ve taban uzunluğunu bulmamız isteniyordu değil mi? Taban 10 cm ve yükseklik bundan 4 cm kısa, demek ki yükseklik 6 cm. Evet şimdi sağlamasını yapabilirsiniz. Alan eşittir, 6 çarpı 10, çarpı 1 bölü 2, bu da, 30'a eşittir