Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi

6 artı 3 i'yi, 7 eksi 5 i'ye bölelim. Ve bunu yapınca yeni bir karmaşık sayı elde edeceğiz. Bir reel sayı artı bir sanal sayı, yani i'nin bir katı olacak... Bunu nasıl yapabiliriz bir düşünelim. Bölme olduğu için bunu yeniden 6 artı 3i bölü 7 eksi 5i olarak yazabiliriz. Bunlar kesinlikle aynı şey. İki ifadeyi bölmek demek, rasyonel ifade şeklinde yazıp bölen ifadeyi paydaya yazmak demektir. Peki, bunu nasıl sadeleştiririz? Paydada, sanal veya karmaşık sayı olmamasını garanti edebileceğimiz bir aracımız var. Buna da eşlenik denir. Bu ifadenin hem payını hem de paydasını paydanın eşleniği ile çarparsak o zaman paydada bir reel sayı kalır. O zaman haydi yapalım. Hem payı hem de paydayı bunun eşleniği ile çarpacağız. 7 artı 5i. Bu, 7 eksi 5i'nin eşleniğidir. 7 artı 5i, bölü 7 artı 5i ile çarpıyoruz. Bir şeyi kendisine böldüğümüzde 1 çıkar. Tabii sıfır değilse. Sıfır bölü sıfır tanımsızdır. Ama 7 artı 5i, bölü 7 artı 5i, 1'e eşittir. Bunun değerini değiştirmemiş oluyoruz ama paydadaki sanal sayıdan kurtulmuş olacağız. Hemen çarpalım. Bu karmaşık sayının her terimini, bu karmaşık sayının her terimi ile çarptığımızda payımızı bulacağız. Dağılma özelliğini iki kere uyguluyoruz. 6 çarpı 7 42. 6 çarpı 5i eşittir artı 30i. Sonra 3i çarpı 7 yani 21i. Son olarak 3i çarpı 5i... 3 çarpı 5 15, bir de i çarpı i, yani i kare var ve o da eksi 1. O zaman 15 çarpı eksi 1 eşittir eksi 15. Bu bizim payımız oluyor. Paydamızı ise, a artı b çarpı, a eksi b şeklinde düşünebiliriz. Veya burada yaptığımızı yaparız. Bence öyle yapalım, iki kare farkını hiç karıştırmayalım. 7 çarpı 7 eşittir 49. Yine dağılma özelliğini kullanıyoruz. Önce dıştakileri yapalım. 7 çarpı 7 ve 7 çarpı 5i, yani 35i. Sonra da içteki terimleri çarpalım... Eksi 5i çarpı 7 eşittir eksi 35i. Bu ikisi sadeleşir. Sonra, eksi 5i çarpı 5i eşittir eksi 25i kare. Pekala.. Eksi 25i kare de ne edecek? Eksi 25 çarpı eksi 1, yani artı 25. Şimdi sadeleştirelim. Buradakiler sadeleşiyor. Paydamız 49, artı 25 74 oldu. Payın reel kısımlarını toplarsak da, 42 ve eksi 15... 42 eksi 5 37. Eksi 10 daha, 27. Burası 27. Sonra 30i ile 21i'yi topluyoruz. 30 tane bir şey, artı 21 tane aynı şey, eşittir 51 tane o şey olur. Burada "o şey" sanal birim olan i'dir. Burası artı 51i etti. Bunu (a artı b)i şeklinde yani bildiğimiz karmaşık sayı şeklinde yazacağım. 27 bölü 74, artı 51 bölü 74 çarpı i. Ve tamamız. Reel kısım ve sanal kısım var. Bu son bölüm karışık geldiyse, karmaşık geldiyse bu ikisinin aynı şey olduğunu hatırlayalım. Bu iki terimi de, 1 bölü 74 ile çarpıyoruz ya da bu iki terimi de 74'e bölüyoruz. Yani 1 bölü 74'ü bu ikisi ile çarparak dağıtıyoruz. Buradakini öyle elde ettik. Güzel bir reel kısım ve güzel bir de sanal kısmımız var. Şahane...