30-60-90 Üçgeni Kenar Oranları İspatı

Bu videoda, bir özel üçgen olan otuz altmış doksan üçgenini ele almak istiyorum. Bu üçgene neden otuz altmış doksan üçgeni dendiğini zaten büyük ihtimalle biliyorsunuzdur. Böyle denmesinin nedeni açılarının sırayla otuz derece, altmış derece ve doksan derece olması. Bu videoda kanıtlayacağımız şey; yani otuz altmış doksan üçgeninin kenarları arasındaki oran , sizin geometri dersleriniz ve ileride alacağınız trigonometri dersleriniz için oldukça faydalı olacak. Hipotenüsün uzunluğuna x diyelim. Unutmayın ki hipotenüs her zaman doksan derecenin karşısındaki kenardır. Eğer hipotenüsün uzunluğuna x dersek, bu videoda kanıtlayacağımız şey, en kısa kenarın, yani otuz derecenin karşısındaki kenarın uzunluğunun, x bölü 2 olacak olması; ve altmış derecenin kenarının da, en kısa kenarın kök üç katı -yani kök üç x bölü 2 olacak olmasıdır. İşte bizim bu videoda kanıtlayacağımız şey de bu kenarlar arasındaki oran. Bu oranı diğer videolarda örnek sorular üzerinde kullanacağız ve bunun aslında çok yararlı bir bilgi olduğunu göreceksiniz. O zaman, çok aşina olduğumuz bir üçgenle başlayalım. Bir eşkenar üçgen çizeyim, bir üçgen çizmek her zaman en zor kısım oluyor. bakalım Bu benim çizebileceğim en güzel eşkenar üçgen. -hehe. Köşelerine A, B ve C diyelim. Buraya eşkenar bir üçgen çizmiş olduğumu varsayıyorum. ABC üçgeni eşkenar bir üçgen, ve bu üçgenin eşkenar olması bütün kenarlarının uzunluklarının eşit olduğu anlamına gelir. Kenarları x uzunluğunda bir eşkenar üçgen dersek; -soldaki kenar x, sağdaki kenar x ve alttaki kenar da x olur. Eşkenar üçgenlerle ilgili daha önce öğrendiğimiz bilgileri hatırlayacak olursak; eşkenar üçgenin bütün açılarının altmış derece olduğunu biliyoruz. O zaman, soldaki açı altmış, yukarıdaki açı altmış ve sağdaki açı altmış derece olacak. Şimdi, yukarıdaki B noktasından aşağıya bir yükseklik çizeceğim. Bu çizginin yükseklik olduğunu tanımlamak için, bu çizginin tabanın tam bu noktasıyla doksan derece ile kesiştiğini de göstermem gerekli. Burası doksan derece olacak ve öbür tarafı da doksan derece olacak. İki tarafta da doksan derecelik açının bulunması, çizdiğimiz çizginin sadece tabana dik bir yükseklik olmadığının, aynı zamanda tabanı iki eş parçaya bölen bir çizgi olduğunu bize göstermektedir. Videoyu durdurarak, yüksekliğin tabanı iki eş parçaya böldüğünü kendinize ispatlayabilirsiniz. Bu iki üçgenin birbirine eş olduğunu kanıtlamak oldukça kolay. -Bunu sizler için kanıtlayayım. Yüksekliğin tabanla kesiştiği noktaya D diyelim. Görüldüğü gibi ABD ve BDC üçgenleri BD kenarını paylaşıyorlar, o zaman bu kenar ikisinin ortak kenarıdır. Sağ üçgenin doksan derecelik açısı, sol üçgenin doksan derecelik açısına eşit. Sağ üçgenin altmış derecelik açısı, sol üçgenin altmış derecelik açısına eşit. Üçgenlerin iki açısı birbirine eşit olduğuna göre, üçüncü açıları da birbirine eşit olur. O zaman, sol üçgenin yukarıdaki açısı, sağ üçgenin yukarıdaki açısına eşit olmak zorunda, yani bu iki açı da birbirine eş. Böylelikle eşlik şartlarından birçoğunu kullanabilirsiniz. Örneğin; KAK (kenar-açı-kenar) şartını veya AKA (açı-kenar-açı) şartını kullanarak ABD üçgeninin CBD üçgenine eş olduğunu gösterebilirsiniz. Dediğim gibi açı-kenar-açı veya kenar-açı-kenardan istediğimiz herhangi birini kullanabiliriz. Bu şartların bize söylediği şey, bu iki üçgenin yöndeş kenarlarının birbirine eşit olacağıdır. Örneğin, AD uzunluğu, CD uzunluğuna eşit olacaktır. AD ve CD yöndeş kenarlardır ve bu durumda birbirlerine eşit olurlar. Bu iki kenarın birbirine eşit olduğunu ve toplamlarının x'i verdiğini bildiğimize göre; -unutmayalım; üçgenimizin kenarları x uzunluğunda olan bir eşkenar üçgen- AD kenarına ve CD kenarına x bölü 2 diyebiliriz. Ayrıca, yükseklik sayesinde bu iki kenarın uzunluğunun x bölü 2 olmasının dışında başka bir şey daha biliyoruz. Yüksekliği çizdiğimiz zaman yukarıdaki iki açı birbirine eşit olur ve toplamları altmış dereceyi verir. O zaman eğer iki açı birbirine eşitse ve toplamları altmış dereceyse, bu açı otuz derece, bu açı da otuz derece olur. Şuana kadar otuz altmış doksan üçgeninin özel ve ilginç özelliklerinden bir tanesini gördük. Bu arada, bu yüksekliği çizerek, eşkenar üçgenimizi iki tane otuz altmış doksan üçgenine bölmüş olduk. Şuana kadar yaptıklarımızla, eğer doksan derecenin karşısındaki kenarın uzunluğu x ise, otuz derecenin karşısındaki kenarın uzunluğunun x bölü 2 olacağını gösterdik. Videonun başında da bu orantıyı kanıtlayacağımızı söylemiştim. Şimdi ise üçüncü kenar için yani altmış derecenin karşısındaki kenar için bir oran bulmalıyız. Bu kenarın uzunluğuna, üçgendeki harfleri kullanarak, BD diyelim. Şimdi BD'yi bulmak için doğrudan Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz. BD'nin karesiyle DC uzunluğunun karesi yani x bölü 2'nin karesinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olacak. O zaman, BD'nin karesi artı x bölü 2'nin karesi eşittir hipotenüsün karesi yani x kare. Dediğim gibi, bu eşitlik doğrudan Pisagor Teoremi'nden geliyor. Bir karışıklık olmaması için tekrar belirteyim, şuan sağ taraftaki otuz altmış doksan üçgenini kullanıyorum, ve bu üçgene Pisagor Teoremi'ni uyguluyorum. BD'nin karesi artı DC'nin karesi, bu hipotenüsün karesine eşit olacak. O zaman şimdi bu eşitliği çözelim ve BD 'yi bulalım BD'nin karesi artı, x kare bölü dört, eşittir x kare. Eğer isterseniz x kareyi, 4 x kare bölü 4 olarak da yazabilirsiniz, çünkü aynı şey. Sonra her iki taraftan da 1 bölü 4 çarpı x kare veya x kare bölü 4 çıkartırsanız, şu eşitliği elde edersiniz; BD'nin karesi eşittir 4 x kare bölü 4, eksi x kare bölü dört yani o da eşittir 3 x kare bölü 4. BD eşittir 3 x kare bölü 4. İki tarafın da karekökünü alırsak; BD, kök 3 x, x x diyoruz çünkü x karenin kökü x olur- bölü 2 'ye eşit olur. BD, altmış derecenin karşısındaki kenar olduğuna göre bütün kenarların uzunluğunu bulmuş oldum. Eğer hipotenüs x ise, otuz derecenin karşısındaki kenar x bölü 2'dir ve altmış derecenin karşısındaki kenar da nasıl söylemek istediğinize bağlı olarak kök üç bölü 2 çarpı x veya kök üç x bölü 2'dir.