Çemberlerin İçteğet Dik Üçgenleri

Diyelim ki bir çemberimiz var, ve çemberimizin çapı şöyle olsun. Evet, buna çemberin çapı diyoruz. Bu çapın bir kenarını oluşturduğu bir üçgenimiz var. Ve çapın hemen karşısındaki açı, yani onun tepe noktası, çember üzerinde bulunuyor. Üçgenimiz şu şekilde. Bu videoda size anlatacağım konu bu tür bir üçgenin dik açılı üçgen olacağıdır. 90 derecelik köşe, çemberin karşısında bulunmaktadır. Şu anda hemen bunu işaretlemiyorum ki işin tadı kaçmasın. Evet, şimdi bakalım bunu göstermek için neler yapabiliriz. Öğrendiğimiz konular arasında çevre açısı ve bu açının, aynı yaya bakan merkez açıyla olan ilişkisi bulunmakta. Şimdi buna bakalım. Diyelim ki buradaki bir çevre açı. Buna teta diyelim. Ve diyelim ki şu da benim çemberimin merkezi olsun. O zaman buradaki açı bir merkez açı olacaktır. Bu yarıçap. Bu da aynı yarıçap. Yani aslında ikisi aynı mesafe. Fakat daha önceki videolarda öğrendiklerimizi hatırlarsak bu çevre açı buradaki yaya bakar. Bu aynı yaya bakan merkez açı da bu açının iki katı büyüklükte olacaktır. Bunu daha önceki videolarda ispatlamıştık. Yani bu açı 2 teta olacaktır. Bu, aynı yaya bakan merkez açıdır. Şimdi, buradaki üçgen işte bu üçgen bir ikizkenar üçgendir. Döndürüp şu şekilde de çizebilirim onu. Evet, olduğu gibi ters döndürürsem de yeşil taraf aşağıya gelecektir. Her iki kenarının uzunluğu da r, yani yarıçap kadardır. Bu tepedeki açı 2 tetadır. Benim burada tek yaptığım şey bu üçgeni almak ve döndürüp bu şekilde çizmek oldu. Bu kenar oradaki şu kenarla aynı. İki kenarı eşit olduğu için, bu bir ikizkenar üçgendir, ve dolayısıyla bu tabandaki iki açı da eşit olmak zorunda. Şu ve şu eşit olmalı, yada şöyle çizip gösterirsek, şu açıyla şu açı eşit taban açılarıdır. Evet. Teta'yı zaten kullanmıştık, bu açılar için bu kez x kullanabiliriz. Yani, bu açı x ise şu açı da x olmak zorunda. Peki bu x'in değeri nedir? Şöyle diyebiliriz: x artı x artı 2 teta eşittir 180 derece. Bunların hepsi de aynı üçgen içerisinde bulunuyor, değil mi? Bunu yazalım: x artı x artı 2 tetamız var, ve bunların toplamı 180 dereceye eşit olmak zorunda yada, 2x artı 2 teta eşittir 180 derece yada, 2x eşittir 180 eksi 2 teta diyebiliriz. Her iki tarafı 2'ye bölersek, şuna ulaşırız: x eşittir 90 eksi teta. Yani x'in değerine ulaşmak için 90'dan tetayı çıkarıyoruz. Bakalım bu konuda daha neler yapabiliriz. Mesela, buradaki üçgene bakabiliriz. Bu üçgenin bu kenarı şöyle bir uzunluğa sahiptir ve aynı zamanda çemberin de yarıçapıdır. Burasını daha önceden çemberin yarıçapı olarak işaretlemiştik zaten. Bir kere de şunu tekrarlayalım: bu bir ikizkenar üçgendir. Bu iki kenar eşittir. Ve dolayısıyla bu taban açılarıda eşit olacaktır. Yani bu bir teta ise, bu da teta olacaktır. Aslında bu bilgiyi biz, çevre açıları ve onlarla aynı yaya bakan merkez açılarıyla olan ilişkilerini göstermede kullanırız. Yani buna teta dersek, bu da tetadır çünkü bu bir ikizkenar üçgen, değil mi? Peki bu durumda buradaki açı nedir? O da, teta artı 90 eksi teta olacaktır. Şuradaki açı, şuradaki şu açı, teta artı 90 eksi teta'dır. Teta'lar birbirlerini götürürler. Dolayısıyla, üçgenimizin bir kenarı çemberin çapı olduğu ve üçgenin tepe açısı da çemberin merkezinin tam karşısında çember üzerinde olduğu her durumda buradaki şu açı her zaman dik olacaktır ve de üçgenimiz dik üçgen olacaktır. Örneğin, şöyle rastgele bir üçgen çizsem bile, yani şurada bir noktadan başlayıp şu şekilde çizersem, sonuç bir dik açılı üçgen olacaktır. Şuraya da şöyle bir şey çizsem ve şöyle devam etsem, bu da bir dik açı oluşturacaktır her zaman için. Bunların hepsini de aynı mantıkla kanıtlamak mümkün. Aslında, buradaki çizim yöntemimi çok genel tuttum ki bu tür üçgenlerden herhangi birine uygulanabilsin.