Yarı Çapın Değişmesinin Alan Üzerindeki Etkileri

Bu videoda, yarıçaptaki değişikliğin bir dairenin çevresi ve alanı üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. Hatta özellikle, yarıçap iki katına çıktığında neler oluyor görmek istiyorum. Evet, bu bizim dairemiz olsun. Bu da uzunluğu “x” olan yarıçapımız. Yarıçapın uzunluğu herhangi bir birimle ifade edilebilir, mesela santimetre olabilir. Ama şu an çok da önemli değil. Şimdi de, yarıçap uzunluğu 2x olan bir daire çizelim. Sanırım, önce yarıçapı çizsem iyi olur, işimiz kolaylaşır. Bu uzunluk 2x ise, yarıçapı 2x olan bir daireyi bu şeklide çizebilirim. Evet, güzel görünmüyor ama pergel olmadan ancak bu kadar. Elimden bu kadarı geliyor. Evet, çizimimiz bittiğine göre, soruya geri dönebilirim. Bu iki dairenin çevreleri ve alanları arasında nasıl bir ilişki var, bir bakalım. Bir dairenin çevresi nasıl bulunur? 2 Pi çarpı yarıçap, öyle değil mi? Bu daire için, çevre, Bunu Ç ile gösterelim. 2 Pi çarpı yarıçap olan x, Yani, 2 Pi x, olacak. Peki ya bu daire? Bu daire için ise çevreyi, 2 Pi çarpı yarıçap yani 2x olarak gösterebiliriz. 2 Pi çarpı 2x dedik. 2 çarpı 2 çarpı Pi çarpı x ile aynı şey. Yani, kısacası 4 Pi x’e eşit. Burada görebileceğiniz gibi, bu dairenin çevresi diğer dairenin çevresinin 2 katı. 2 Pi x’ten, 4 Pi x’e ulaşmak için, 2 ile çarpmak gerekir. O halde, yarıçap iki katına çıktığında, çevre de iki katına çıkar diyebilir miyiz? Evet, rahatlıkla diyebiliriz! Şimdi de, alanlara bakalım. Bunun için başka bir renk kullanayım. Bir dairenin alanını bulmak için, Pi çarpı yarıçapın karesi formülünü uygulayabileceğimizi biliyoruz. Bu dairede, yarıçap “x”ti. O halde, alan, Pi çarpı x kare olur. Diğer dairede ise, alan, Pi çarpı yarıçap olan 2x’in karesi olacak, değil mi? Pi çarpı, 2x’in karesi 4 x kare eder, Yani Pi 4 x kare! Ya da, 4 çarpı Pi x kare olarak yazabiliriz, öyle değil mi? Peki, burada ne görüyoruz? Yarıçap iki katına çıktığında, alan 2 katına değil, tam tamına 4 katına çıktı! Bunun neden böyle olduğunu konusunda biraz düşünün. Ya da düşünmeyin hemen ben anlatayım. Herhalde, bunun çevre ve alan formüllerinden kaynaklandığını anladınız. Çevreyi bulmak için, 2Pi çarpı yarıçap formülünü kullandık. Alan için ise, başka bir renk kullanayım, Pi çarpı yarıçapın karesi formülünü. Alan formülünün, yarıçapın karesine bağlı olarak değiştiğini görebilirsiniz. Eğer yarıçapı 2 katına çıkarırsanız, alan 4 katı artar. Yarıçapı 3 katına çıkarsanız da, alan 9 kat artar. Tahmin edebileceğiniz gibi, yarıçapı 4 katına çıkardığınızda ise, alan 16 katına çıkar. Çevre formülünde ise, yarıçapı kaç kat arttırırsanız, çevrenin de o kadar arttığını, o kadar kat arttığını görürsünüz. Bu soruda yarıçaptaki değişimin çevre ve alan üzerindeki etkisini matematiksel olarak kanıtlamaya çalıştık. İsterseniz siz de, başka sayılar ile deneyin ve sonucu kontrol edin. İyi eğlenceler, hoşçakalın!