Logaritmada Taban Değiştirme Formülünün İspatı

Bu videoda, logaritmalarda taban değiştirme formülünü anlatacağım ve hatta kanıtlayacağım! Taban değiştirme formülü, Hemen, formülün ne olduğunu hatırlayalım, Evet, bu formülü kullanarak, a tabanında x’in logaritmasını, başka tabanlarda logaritmalar kullanarak bulabiliriz. A tabanında x’in logaritması, B tabanında x’in logaritması bölü, B tabanında a’nın logaritmasına eşittir. Ve eğer hesap makinenizde sadece doğal logaritma ve 10 tabanında logaritmalar için fonksiyonlar varsa, bu formülle, istediğiniz her logaritma tabanı için işlem yapabilirsiniz! Mesela, 3 tabanında 25’in logaritmasını, hesap makinenizin 10 ya da 2 tabanlı logaritma fonksiyonlarını kullanarak, 10 tabanında 25’in logaritması Hemen hemen bütün hesap makinelerinde bunun için bir tuş vardır, bölü, 10 tabanında 3’ün logaritması olarak yazabilir ve sonucu bulabilirsiniz! Umarım buraya kadar her şey anlaşıldı, değil mi? Taban değiştirme formülünü nasıl uyguladığımızı da gördüğümüze göre, şimdi sırada, bu formülü kanıtlamak var! Öncelikle, A tabanında x’in logaritması için bir değişken belirleyelim. Evet, bu değişken, Y olsun. Buradaki eşitliğin sol tarafını y’ye eşitledik. Güzel. A tabanında x’in logaritması eşittir y demek, A üzeri y eşittir x demektir. X’i biraz sağa yazalım, çünkü buraya başka şeyler yazacağız, Tekrar ediyorum, A tabanında x’in logaritmasını, Y’ye eşitledik ve bunu, buna eşit olan, A üzeri y eşittir x olarak ifade ettik. Şimdi işin içine b tabanında logaritma giriyor. Bu eşitliğin iki tarafının da, B tabanında logaritmasını alacağım. Logaritmanın özelliklerinden biri, eğer üstel bir ifadenin logaritması alınıyorsa, Bunun, üstel ifadedeki kuvvet çarpı o ifadenin logaritmasına eşit olmasıdır. Yani, B tabanında a üzeri y’nin logaritması, Y çarpı A’nın b tabanında logaritmasına eşittir. Eğer merak ettiyseniz, bu logaritmik özelliğin ispatını başka videolarda izleyebilirsiniz. Evet, sağ tarafta da, X’in b tabanında logaritması var. Y’yi bulmak için, y’yi bulmak için, bakın y'yi buna eşitlemiştik. Ve şimdi bu denklemden, y’nin, b tabanında 2 farklı logaritmanın bölümüne eşit olduğunu bulacağız! Y için, iki tarafı da a’nın b tabanında logaritmasına bölelim. Sol tarafı,a’nın b tabanında logaritmasına bölüyorum, ve sağ tarafı da! Sonuç olarak, sol tarafta, bunlar birbirini götürdü, Y, yalnız kaldı! Yani y, x’in b tabanında logaritması bölü, a’nın b tabanında logaritmasına eşit oldu! Evet şunları kopyalayıp, yapıştırıyorum. Aynı zamanda az önce bunun, buna eşit olduğunu da kanıtlamıştık. İşte bu! Karşınızda taban değiştirme formülü!