Tabanında Değişken Olan Logaritmik Denklemler

log x artı log 3 eşittir, 2log 4 eksi log 2 denklemini çözmemiz isteniyor. Baştan yazalım. log x artı log 3 eşittir 2 çarpı log 4 eksi log 2. Hatırlayın eğer logaritma tabanı olmadan yazılmışsa tabanı, 10'a eşit demektir. Yani buralara, 10 yazabiliriz. Şimdi hatırlayın diye yazdım ama zaman kazanmak için, sonraki adımlarda 10 koymayacağım. 10 tabanına göre logaritma aldığımızı unutmayın yeter. Burada 10'un kaçıncı kuvveti x eder, bunu bulacağız. Burada da 10'un kaçıncı kuvvetinin 3 sonucunu verdiğini bulacağız. Şimdi logaritmanın hangi özelliklerini kullanacağımıza bakalım. Bunlar aynı tabanda, ikisi de 10 tabanında. b'nin a tabanına göre logaritması artı c'nin a tabanına göre logaritması eşittir bc'nin a tabanına göre logaritması. Diğer kuralları da ekleyelim. Şöyle yazalım. b çarpı c'nin a tabanına göre logaritması eşittir c üzeri b'nin a tabanına göre logaritması. Ayrıca b'nin a tabanına göre logaritması eksi c'nin a tabanına göre logaritması eşittir b bölü c'nin a tabanına göre logaritması. Bu özelliği diğer iki kuralı kullanarak doğrudan elde edebiliriz. Kurallarımızı listeledik. Şimdi bakalım hangilerini kullanabiliriz. Burada tüm logaritmaların tabanı aynı. x'in logaritması artı 3'ün logaritması... Şurada yazdığımız özelliğe göre, tabanı aynı olan logaritmaların toplamını şöyle alırız. Bu, 10 tabanına göre 3 çarpı x, yani 3x'in logaritması. Buradaki özelliğe göre, şunu baştan yazabiliriz. Bu 4 üzeri 2'nin 10 tabanına göre logaritması, yani 16'nın logaritması olacak. Ve eksi 2'nin 10 tabanına göre logaritması... Şimdi bu son özelliği kullanarak, bir logaritma eksi başka bir logaritma... Bu eşittir 16 bölü 2'nin 10 tabanına göre logaritması. 16 bölü 2 de 8'e eşit. Yani sağ taraf 8'in 10 tabanına göre logaritması olarak sadeleşir. Sol taraf da 3 x'in 10 tabanına göre logaritması. 10 üzeri bir sayı 3x'e eşit olurken 10 üzeri aynı sayı 8'e eşit olacak. Yani, kısaca, 3x, 8'e eşit olmalı. 3x eşittir 8. İki tarafı da 3'e bölelim. x eşittir 8 bölü 3. Burada ne yaptım, bir tekrar edeyim. Dedim ki, bu, bir üs. 10 üzeri bu üs, 3x'i veriyor. 10 üzeri aynı üs, aynı zamanda, 8 veriyor. Yani 8 ve 3x birbirine eşit olmalı. Ya da şöyle düşünebilirsiniz... Şöyle de düşünebilirsiniz: 10 üzeri iki taraftaki üsler diyelim. Yani 10'un bu kuvveti ve 10'un şu kuvveti diyebiliriz. 10'u 10'un 3x veren kuvvetine alırsam, 3x elde ederim. 10'u 10'un 8 veren kuvvetine alırsam, 8 bulurum. Yine 3x eşittir 8 bulurum ve sadeleştirdiğimizde, x eşittir 8 bölü 3 elde ederiz. Bu kadar kolay.