If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:4:06

Video açıklaması

Bu gördüğünüz grafiği, Khan Academy’nin basit üstel fonksiyonlar alıştırmasından aldım. Ve bizden, aşağıda verilen üstel fonksiyonun grafiğini çizmemiz isteniyor. Hx fonksiyonu, 27 çarpı 1 bölü 3 üzeri x’e eşit. Standart halde yazılmış bu fonksiyonun başlangıç değeri 27, ortak oranı da 1 bölü 3. Ve grafik çizmemize yardımcı olacak araçla, buradaki iki noktanın ve yatay asimptotun yerini değiştirebiliyoruz. Zaten bu üç şey, üstel olduğunu bildiğimiz bir fonksiyonun grafiğini çizmek için yeterli. Bir düşünelim. Önce başlangıç değerini değerlendirmemiz gerekiyor. Üstel fonksiyonların başlangıç değerinde x, sıfıra eşittir. 27 çarpı 1 bölü 3 üzeri sıfır, 1 bölü 3 üzeri sıfır 1’e eşit olduğu için 27 eder. Üstel fonksiyonlar standart halde yazıldıklarında, bunun başlangıç değeri olmasının sebebi de bu. Evet, x, sıfırken, hx, 27’ye eşit olduğu için bu noktayı işaretleyeceğiz. İkinci bir nokta için, x’in 1’e eşit olduğu duruma bakalım. X, 1’e eşitken, hx, 1 bölü 3 üzeri 1, 1 bölü 3 eder. 27 çarpı 1 bölü 3 ise, 9. X, 1’ken, hx, 9 olduğu için, ikinci noktayı da buraya taşıyalım. Ve sıra geldi asimptota. Sizce, x’in değeri büyüdüğünde, fonksiyonun değerine ne olacak? X’in çok büyük; mesela, 10, 100 hatta 1000 olduğunu düşünürsek, buranın değeri, burasının değeri sıfıra yaklaşır. Sıfıra yaklaşan bu değerle 27’yi çarptığınızda da bir şey değişmeyeceği için, fonksiyonun değerinin de sıfıra yaklaşacağını söyleyebiliriz. Bunun için, yatay asimptot, sıfırda, yani x ekseninin üzerinde olur. Grafiğin doğru olup olmadığını kontrol etmek için, grafik üzerinden başka bir nokta seçelim. Grafiğe göre, x, 2’yken, y yani hx 3’müş. Başka bir deyişle h2’nin 3’e eşit olması lazım. Bakalım... 1 bölü 3 üzeri 2, 1 bölü 9 eder. 27 çarpı 1 bölü 9’da, evet! 3’e eşit. X, 2’yken, hx’in 3’e eşit olduğunu bir kere daha onayladıktan sonra, bir tane daha alıştırma yapalım. Bir alıştırma daha yapalım. Aşağıda verilen üstel fonksiyonun grafiğini çiziniz. Aynen az önce yaptığımız gibi, x, sıfırken, g sıfır, buradaki başlangıç değerine yani eksi 30’a eşit olacak. Ekranı az aşağı kaydıralım. Ve eksi 30’u işaretleyelim. Şimdi bir de x, 1’e eşit olduğunda ne oluyormuş ona bakalım. X, 1’ken, 2 üzeri 1, 2. Eksi 30 çarpı 2 ise, eksi 60 eder. X 1, X eşittir 1. Y eşittir eksi 60 noktası da, işte burada Asimptot ise, x’in değeri iyice negatif olduğunda, fonksiyon, bir bakalım, mesela 2 üzeri eksi 1, 1 bölü 2, 2 üzeri eksi 2, 1 bölü 4, 2 üzeri eksi 3 ise 1 bölü 8 ettiğine göre, X’in çok ama çok negatif değerleri için, buradaki kesrin değerinin sıfıra yaklaşacağını söyleyebiliriz. Ve eksi 30’u da, buradaki değeri sıfıra yaklaşan kesir ile çarptığınızda, yine sıfıra yaklaşan bir değer elde edersiniz. Asimptotun yeri doğru! Yatay asimptot, x eksi sonsuza yaklaşırken, burada olmalı! Grafik üzerinde sola doğru ilerlediğimizde, fonksiyonun değeri sıfıra yaklaşacak! Başlangıç değeri ve ortak oranı kullanarak bulduğumuz noktaları hesaba katınca, fonksiyonun sıfıra, aşağıdan yaklaştığını da söyleyebiliriz.