Fonksiyonun Türevsiz Olduğu Yer

F fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlıdır. Bizden Fx’in türevsiz olduğu durumları bulmamız isteniyor. Evet, soruyu çözebilmek için, f üssü x’in yani fx’in türevini gözlemlememiz gerekecek. Bunun için de, gelin, fx’in türevini morla çizelim. Fx’i bu aralıkta gözlemleyecek olursak, X eşittir eksi 8 buçuk ve eksi 2 aralığında, eğimin sabit ve eksi 2 olduğunu söyleyebiliriz, öyle değil mi? Bence söyleyebiliriz, eğim, sabit ve eksi 2. O halde, fx’in türevini bu şekilde çizebilirim. Sabit ve eksi 2! aynen bu şekilde. Aynen bu şekilde. Ve x eşittir eksi 2 noktasına geldiğimizde, hatta, tam da x eşittir eksi 2’yi geçtiğimizde, eğim negatifken, pozitif oluyor. Aslına bakarsanız, pozitif olmakla kalmayıp, eğrilmeye de başlıyor. Yani x eşittir eksi 2 noktasından sonra artık bir doğruya değil, eğriye sahibiz. Ve bu eğrinin teğetlerinin eğimlerini inceleyecek olursak, artık sabit bir eğimden bahsedemeyiz, çünkü bu aralıkta fx bir eğri ve eğrinin her noktasında eğim farklı. Mesela, bu nokta yakınlarında, Teğetin eğimi 3 buçuk gibi görünüyor. İşte bakın. Bu noktada bir teğet çizecek olursam, Teğetin eğimi 3 buçuk gibi görünüyor. X yönünde 1’lik bir değişim, y yönünde 3 buçukluk bir değişim yaratıyor. O halde, eksi 2’yi geçtiğimiz bu noktada, eğimi 3 buçuk olarak değerlendirebiliriz. Daha sonra ise, eğim küçülmeye başlıyor, giderek daha küçük değerler alıyor, ta ki, x eşittir 2 noktasına gelene kadar. Ve, 2’den 3’e kadar da küçülmeye devam ediyor. Eğimin, bu aralıkta, sabit bir oranla azaldığını söyleyebiliriz. Evet, eğim, işte aynen şu an çizdiğim gibi bir davranış sergiliyor. X eşittir 3 noktasından sonra ise, fx düz bir doğruya dönüşüyor. Yani eğimi sıfır oluyor. Evet, x, 3’ü geçince, eğim, sıfır. Mor grafiğe yani fx’in türevine baktığınızda, eğimin atlamalar yaptığı noktaları hemen görebilirsiniz. Bu noktalarda, türevden bahsedemeyiz. Yani göstermiş olduğum bu noktalarda fonksiyon türevsizdir diyebiliriz. Soruda da, fx’in türevsiz olduğu durumlar sorulmuştu. O halde, X eksi 2’ye eşitken fonksiyon türevsiz. Evet, x eksi 2’ye eşitken, bir eğim bulamıyoruz. Unutmayın, teğetin eğimini bulmaya çalışırken, bu nokta ile fonksiyon üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki kesen doğrunun eğiminin limitine bakarız. Ve eğer bunu yapacak olursak, eksi 2’ye soldan yaklaşırken, eğimi eksi 2, sağdan yaklaşırken de, 3 buçuk olarak buluruz. Yani soldan ve sağdan yaklaşırken kesen doğrunun limiti için farklı değerler buluruz. Aynı durum, X eşittir 3 noktası için de geçerli. Soldan yaklaşırken, eğim azalan bir değere sahip ve tahminen söylüyorum eksi 1’e yaklaşıyor gibi görünüyor. eksi 1’e yaklaşıyor gibi görünüyor. Sağdan yaklaştığımızda ise, eğim, sıfır. Bu yüzden, kesen doğrunun eğiminin limiti de aynı olmuyor. İşte bu iki noktada, türev atlama yapıyor ve fx de türevsiz oluyor.