Limitler Konu Anlatımı

Limit konusunun anlatımına hoş geldiniz. Örnek çözmeden önce biraz konu anlatımı yapayım. Evet, kalemimiz ne renkmiş bakalım. Evet, diyelim ki limitini... Limitin ne olduğunu birazdan anlatacağım. Limitini bulacağımız... Kalemi seçeyim. Bir de sarı yapalım. x 2'ye yaklaşırken, x kare'nin limiti. Bu şu demek: "x 2'ye yaklaşırken, x kare ifadesi neye yaklaşır?" Bu çok kolay. Hemen grafiğini çizelim. Hemen çizeyim. x kare'nin grafiği yaklaşık olarak... x kare şöyle bir şey, değil mi? x 2'ye eşitken... x 2'ye eşitken y, yani tanımlanan bu fonksiyon yani x kare ifadesi, 4'e eşittir, değil mi? Limit, x 2'ye yaklaşırken... x 2'ye her iki yandan da 2'den küçük sayılar tarafından ve 2'den büyük sayılar tarafından yaklaşırken, fonksiyon neye yaklaşır? Bu sorunun yanıtının çok kolay olduğunu söyleyebilirsiniz. Bunu neden yeni bir konu altında konu başlığı altında öğrendiğimizi merak ediyor olabilirsiniz. x 2'ye bu yönden gittikçe yaklaşırsa ve x 2'ye diğer yönden gittikçe yaklaşırsa, bu ifade kaça eşit olur? Aslında 4'e eşit olur, değil mi? İfade 4'e eşit olur. Ben şöyle düşünürüm: Eğri üzerinde, ifadenin tanım değerine yaklaştıkça ifade kaça eşit olur? Bu ifade 4'e eşittir. fx fonksiyonumuz buysa ve o da "x kare" ise f2 fonksiyonu da 4'e eşit olur. Çocuk oyuncağı. Ama işi biraz çetrefili hâle getireyim. Umarım o zaman "limit"in ne olduğunu anlamaya başlarsınız. Şöyle tanımlayayım: f x, x kare'ye eşit olsun, ama x'in 2 olmadığı noktalarda. Bir de, x, 2 olduğunda, 3'e eşit olsun. İlginç, değil mi? Bu ifadenin az biraz değiştirilmiş, geliştirilmiş hâli oldu. Yeni f x fonksiyonumuz bu. Şimdi, soru da bu: Limit... Limit, x 2'ye yaklaşırken, f x'in limiti nedir? Bu x. Anlamı, "x 2'ye yaklaşırken". Evet, bir saniye bunun bir grafiğini çizeyim. Az öncekiyle aynı şekilde bir grafik çizelim. Hemen çizelim. Bu grafiğin neredeyse aynısı olacak ama x 2'ye eşit olduğunda tuhaf bir durum göreceksiniz. Neredeyse aynı. Tıpkı "x kare" eğrisi gibi. Ama x'in 2'ye eşit olduğu, yani f x'in, 4'e eşit olduğu noktada küçük bir boşluk çiziyorum buraya. Çünkü fonksiyon, x 2'ye eşit olduğunda tanımlı değil. Burası, x'in 2 olduğu nokta. Burası 2. Burası 4. Bu da tabii ki, f x ekseni. x, 2'ye eşit olduğunda... Burası da 3 olsun. x, 2'ye eşit olduğunda f x, 3'e eşit olur. Bu nokta aslında bunun tam altındadır. Şu anda tam altındaymış gibi durmuyor ama siz ne demek istediğimi anlamışsınızdır. Grafik, "x kare"nin grafiğinin aynısı. Ta ki, x, 2 olana kadar. x 2 olduğunda, grafikte bir "hoşluk" var. Bir "boşluk" var. Evet, bir boşluk. İçinde bu boşluk için de "hoşluk oldu" diyebilirsiniz. Neyse, grafikte bir boşluk var. x'in 2'ye eşit olduğu noktayı geçince, aynı şekilde devam ediyor. Bu boşluk, işte burada tanımlı. Peki, x 2'ye eşit olunca ne oluyor? f x, 3'e eşit oluyor. Grafik, tıpkı "x kare"nin grafiği gibi ama f 2'de 4'e eşit olmuyor. "f 2", 3'e eşit oluyor. Ardından, yine aynı şekilde devam ediyor. Limit sorusuna dönelim. x, 2'ye yaklaşırken limit nedir? Aynı şekilde düşünelim. Size şimdi zihnimde nasıl canlandırdığımı anlatacağım. Farklı bir renk seçelim. x, 2'ye bu yandan, yani soldan, yani 2'den küçük sayılar tarafından yaklaşırsa "f x" de 4'e yaklaşır, değil mi? x, 2'ye yaklaşırken, "f x" de 4'e yaklaşıyor. Gördünüz. Eğrinin grafiği üzerinde ilerlediğinizde, yani "f 2"ye yaklaştığınızda, gittikçe 4'e yaklaşırsınız. Benzer şekilde, sağ taraftan yaklaştığınızda, sağ taraftan yaklaştığınızda, eğri üzerinde de yaklaşalım. f x fonksiyonu da yavaşça 4'e yaklaşır. x eşittir 2'ye gittikçe yaklaştığımızda, f'nin değerleri her ne ise, 4'e yaklaşır. Bu durumda; x, 2'ye yaklaşırken limit, 4'e eşittir. Bu ilginç oldu işte. Çünkü, x, 2'ye yaklaşırken ki limit, "f 2"ye eşit olmadı. Tabii bunu tam bunun yanın yazmalıyım. İlk durumda, tanım noktasına yaklaşırken ki limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değerine eşitti. Ama bu durumda eşit olmadı. Fonksiyonun bir noktadaki limitinin, o fonksiyonun o noktadaki değerinden biraz farklı bir kavram olduğunu anlamaya başlamışsınızdır. Çünkü bazı fonksiyonlar, verilen bir noktada tanımlı olmayabilir ya da o noktadaki değerleri farklı noktalara zıplayabilir. Siz o noktaya yaklaşırken, fonksiyonun o noktadaki değerinden farklı bir noktaya yaklaşıyor olabilirsiniz. Konuyu girişi bu şekilde yaptık. Limit'in ne olduğu konusunda bir fikriniz oluşmuştur. Başka bir sunumda, daha çok formüle dayanan bir limit tanımı vereceğim. Bir sonraki derste de, limit konusunu işleyen birçok soru çözeceğim. Daha çok soru çözdükçe, limitin tanımı aklınıza daha çok yatacak. Ardından türev ve integral konularına girince de, limit kavramının neden ortaya çıktığını anlayacaksınız. hoşçakalın.