Eğer bu mesajı görüyorsanız, web sitemizde dış kaynakları yükleme sorunu yaşıyoruz demektir.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Ana içerik

Küplü İfadeyi Çarpanlara Ayırarak Limit Bulma

Sal (x³-1)/(x²-1)'in x=1'deki limitini ifadeyi çarpanlarına ayırıp sadeleştirerek buluyor. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Haydi, x, 1’e giderken, x küp eksi 1 bölü x kare eksi 1 ifadesinin limitini bulalım. x’in yerine 1 koyduğumuz zaman, sonuç olarak 1 eksi 1 bölü 1 eksi 1’den, sıfır bölü sıfır elde ederiz ve tahmin edebileceğiniz gibi, bu pek de işimize yaramaz. Bunun yerine, gelin, bu ifadeyi sadeleştirmeyi deneyelim. Bu ifadeyi baştan yazacak olursak, hemen yazalım, x küp eksi 1 bölü x kare eksi 1. Evet, paydadaki, x kare eksi 1, size de tanıdık geldi mi? Acaba... Bu ifade, iki kare farkıdır ve biz, x kare eksi 1’İn, x eksi 1 çarpı x artı 1 şeklinde çarpanlarına ayrılacağını biliyoruz. Şimdi, eğer paydaki ifadenin de, çarpanlarından biri x eksi 1’se, Bu x eksi 1’ler birbirini götürecek ve böylece sıfıra bölünme sorunundan kurtulmuş olacağız. x eksi 1 çarpanıyla bu kadar yakından ilgilenmemin sebebi, paydayı sıfır yapıyor olması. x, 1’e eşitken, paydada, 1 eksi 1 çarpı 1 artı 1, yani sıfır çarpı 2 işleminin sonucu olarak sıfır elde ediyoruz. Eğer payda bir x eksi 1 çarpanı bulabilirsem, x’in 1’e eşit olmadığı değerler için, x eksi 1’ler sadeleşecek ve payda artık sıfır olmayacağından, bu ifadenin limitini bulmak daha kolay olacak. O halde, şimdi, x küp eksi 1’in, x eksi 1 diye bir çarpanı olup olmadığına bakalım. Bunun için, uzun bir bölme işlemi yapmamız gerekecek. Bazılarınız bunun cevabını biliyor olabilir ama gelin, x küp eksi 1’i, x eksi 1’e bölelim ve neler olacak görelim. x eksi 1, en yüksek dereceli terime bakmamız gerekiyor, x küpte kaç kere vardır? x kare kere, değil mi? x kare kere. Daha açık görebilelim diye, x küp eksi 1’i şu şekilde yazalım, bu ikinci derece basamağı, bu birinci derece ve bu da sabit sayı olan eksi 1. Evet, x küpte kaç tane x eksi 1 var? x kare tane! x çarpı x kare, x küp ve eksi 1 çarpı x kare, eksi x kare eder. Şimdi, bu çıkarma işlemini yaparken, x kare’nin önündeki eksi, artıya dönüşecek ve geriye x kare kalacak. Peki, x karede kaç tane x eksi 1 var? x tane. x kere x, x kare; x kare eksi 1, eksi x eder. Bunu da çıkarırsak, x kareler birbirini götürür, eksi x’in önündeki işarete değişir, bu sabit sayıyı da aşağı indirirsek, geriye, x eksi 1 kalır ve x eksi 1’i, x eksi 1’e böldüğümüzde ise, sonuç bir olur. 1 çarpı x eksi 1, x eksi 1 eder ve bu çıkarma işleminden de geriye sıfır kalır. Bu bölme işlemi sonunda, payın çarpanlarını bulmuş olduk, x küp eksi 1 yerine, x eksi 1 çarpı x kare artı x artı 1 yazabiliriz. Şahane! Şimdi, x’in 1’e eşit olmayan değerleri için, x eksi 1’lerin sadeleşeceğini ve bu ifadeyi, x kare artı x artı 1 bölü x artı 1 şeklinde yazacağımızı söyleyebiliriz. Tabi unutmayalım, x’in 1’e eşit olmayan değerleri için, diye de not etmeyi unutmayalım. Hatırlatmak istiyorum, x’in 1’e eşit olmayan değerleri için bu işlemi yapıyor olmamız, Hiç problem değil, çünkü, bu ifadenin limitini, x, 1’e eşitken değil; x, 1’e giderken bulmamız gerekiyor. O halde, x, 1’e giderken, x küp eksi 1 bölü x kare eksi 1’in limitini, x kare artı x artı 1 bölü x artı 1’in limitini hesaplayarak bulacağız ve gördüğünüz gibi, bu çok daha kolay. x 1’e eşitken ne olur bir bakalım, x kare yani 1’in karesi, 1. Artı x, yani 1 daha, artı 1, 3 etti. Burada da, x artı 1 yani 1 artı 1 var, o halde cevap, 3 bölü 2 olur.