Kalkülüs: Türev 1

Türev videomuza hoşgeldiniz. Hemen türevlerimize başlayalım. İlk bakışta biraz zor duruyor olabilir ama gerçekte öyle değil. Diyelim düz bir doğrumuz var, Önce çizmeye çalışalım. Bunlar benim koordinat eksenlerim. Düzgün olmayan koordinat eksenlerim. Evet, bu düz bir doğru. Böyle düz bir doğrumuz olduğunda, ve eğimini bulmanızı istediğimde, bence eğimi bulabilirsiniz. Eğim, y'deki değişimin x'deki değişime oranı demek değil mi? Eğim her yerde aynı çünkü bu düz bir doğru. Bu yüzdende eğim, bütün doğru üzerinde aynı. Ama eğer, bu doğru üzerinde her hangi bir noktada eğimi bulmak istersek, bir x noktası alırız. Diyelim ki bu nokta. Rengini değiştireyim. Bir de bu noktayı alalım. Gelişigüzel seçtim. Herhangi 2 noktayı seçebilirim. Burada y'deki değişimi görmek istiyorum. y 'deki değişim. Ya da delta y, yani y'deki değişimi söylemenin bir başka yolu. Bu x deki değişim. Yani delta x. Eğim eşittir y deki değişim bölü x deki değişim Yada delta y bölü delta x. Şu küçük üçgenler delta demek. Kolay anlaşılır bir formül, değil mi? Peki elimizde düz bir doğru yoksa ne yapacağız? Bakalım,çizecek yeterli yerim var mı? Şimdi bir başka koordinat ekseni. Biraz dağınık yazıyorum ama umarım anlaşılıyordur. Şimdi bunun gibi düz bir doğru yerine, yani y eşittir mx artı b yerine, diyelim ki y eşittir x üzeri 2 eğrisi var elimizde. Bir eğri var. Bunu farklı bir renkle çizeyim. y eşittir x üzeri 2x kare böyle bir şeye benziyor. Zaten şimdiye kadar bir çok kez görmüşsünüzdür. Peki bu eğrinin eğimi ne olur? Bir düşünün. Bir eğrinin eğimini bulmak ne demek? Bu doğru üstünde eğim her yerde aynıydı. Ama bu eğriye bakarsanız eğim sürekli değişiyor, değil mi? Bakın, burada neredeyse düz, sonra gittikçe dikleşiyor, dikleşiyor... Ve daha yukarıya çıkarsanız çok daha fazla dikleşiyor. Şu an tahminen içinizden, "Eğimi sürekli değişen bir eğrinin eğimini nasıl bulacağız?" diye soruyorsunuz . Bu eğrinin sabit bir eğimi yoktur. Eğri üzerindeki eğim bir noktadan diğerine değişir. Yani bütün eğri için tek bir eğimden bahsedemeyiz. Ama bir doğruda eğim sabittir ve üzerindeki her noktada eğim eşittir, çünkü değişmez, sabit. Burada ise, verilen bir noktadaki eğimi bulabiliriz. Bu eğim, o noktadaki teğet doğrusunun eğimi ile aynı olur. Mesela... Güzel bir renk seçeyim, şöyle yeşil olsun. Mesela bu noktanın eğimi, bu doğrunun eğimi ile aynı olacak, değil mi? Çünkü bu doğru bu noktaya teğet geçiyor. Sadece eğriye dokunuyor . Tam olarak o dokunduğu noktada, bu mavi eğri, yani y eşittir x üzeri 2, bu yeşil doğru ile aynı eğime sahip. Ama biz noktayı biraz geriden almış olsaydık, grafik her ne kadar çok kötü çizilmiş olsa da, eğim şöyle olur. Teğetin eğimi. Eğim burada negatif ve burada da pozitif olur. Buradan bir nokta almış olsaydık, eğim daha da pozitif olurdu. Peki bunu nasıl anlayacağız? y eşittir x üzeri 2 eğrisinin, her noktasındaki eğimini nasıl bulacağız? İşte burada türev işin içine giriyor. Limitin gerçekten faydalı işimize yarar bir konu olduğunu, burada göreceksiniz. Bu eğriyi tekrar çizelim. Önce eksenleri çizeyim. Bu y ekseni. Sadece 1. bölgeyi çiziyorum. Bu x ekseni. Eğriyi de sarıyla çizeceğim. y eşittir x üzeri 2 eğrisi, hemen hemen böyle bir şey. Evet, düzgün bir şekilde çizelim. Evet, tamam. Diyelim ki bu noktadaki, eğimi bulmak istiyoruz. Bu a noktası olsun. Bu noktada, x eşittir a. Tabii ki bu f(a) değil mi? f(a). Burada sekant doğrusunun eğimini bulmaya çalışabiliriz. Yani kesen doğrunun. Bu noktaya yakın başka bir nokta alalım. Bu noktaya yakın bir nokta olsun. O da burada. Bu doğrunun eğimini bulursak eğrinin bu noktadaki eğimine çok yaklaşmış oluruz, öyle değil mi? Kesen doğruyu çizeyim. İşte böyle. Bu noktaya a artı h diyelim. Yani bu iki nokta arasındaki uzaklık h. Yani a noktasından, h kadar uzaklaşıyoruz. h kadar uzaklaştık. Bu nokta da f (a artı h). Bu, buradaki noktanın eğiminin ne olacağına dair yakın bir tahmin olabilir. h küçüldükçe, iki nokta birbirine daha çok yaklaşır ve bulmak istediğimiz eğime, daha yaklaşmış oluruz. h'nin 0'a eşit olduğu yerde eğimi bulabilirsek, eğrinin o noktadaki anlık eğimini bulmuş oluruz. Peki h eşittir 0 olduğu zaman eğimi nasıl bulacağız? Bu iki nokta arasındaki eğim için y'deki değişim... y'deki değişim ne peki? Burası, Burası, x koordianatı a artı h, y koordinatı f (a artı h). Bu noktanın koordinatları ise, a ve f(a) Daha önce kullandığımız gibi, standart eğim formülünü kullanırsak, y'nin x'e göre değişimini söyleyebiliriz. O zaman y'deki değişim nedir? f(a artı h), a artı h öyle değil mi? Bu y koordinatından bu y koordinatını çıkarıyoruz. Eksi f(a), bölü, x'deki değişim. Yani, a artı h eksi a. Bu a lar birbirini götürdü. f (a artı h) eksi f(a) bölü h. Ya da h. Bu sekant doğrusunun,yani kesen doğrunun eğimi. Teğet doğrusunun eğimini bulmak istiyorsak h daha da küçük, küçücük olduğunda ne olduğunu bulmalıyız. Sanırım nereye varmak istediğimi anladınız. Eğer teğet doğrusunun eğimini bulmak istiyorsak, h 0'a yaklaşırken bu değerin limitini bulmalıyız. limit eşittir f (a artı h) eksi f(a) bölü h, h 0'a yaklaşırken. Ve, h 0 a yaklaştıkça, bu sekant doğrusu, teğet doğrusunun eğimine yaklaşır. O zaman, eğrinin üzerindeki o noktanın eğimini bulmuş oluruz. Ve aslında şu saniye türevin tanımını yaptık. Bu yazdığımız türevin tanımı. Türev bir eğrinin üzerindeki belirli bir noktanın eğiminden başka bir şey değil. Ve bu çok kullanışlı bir şey çünkü, en başta sadece bir doğrunun eğimini bulabiliyorduk. Şimdi ise bir eğrinin yani çoğu eğrinin belli bir noktasındaki eğimini bulabileceğiz. Evet, size türevin tanımını verdiğime göre, gelecek videolarda hangi konuları işleyeceğimizi tahmin ediyorsunuzdur. Gelecek videolarda, bu tanımı x üzeri 2 ve onun gibi diğer fonksiyonlarda uygulayarak örnekler çözeceğim. O zaman bir daha ki videoda görüşmek dileğiyle hoşçakalın. Kolay gelsin.