Limit Olarak Türev

Şimdiye kadar gördüğünüz cebir derslerinde bir doğrunun eğimi kavramıyla sık sık karşılaşmışsınızdır. Ancak biraz daha tekrar yapmanın yararlı olacağını düşünüyorum Önce koordinat düzlemimizin eksenlerini çizeyim. Bu benim y eksenim, belki de bu eksenime f(x) demeliyim. y eşittir f(x) x eksenini de çizeyim, tamamdır bu da x eksenim. Son olarak da doğrumuzu çizelim. Şimdi yapmak istediğimiz şey bu doğrunun eğimini nasıl bulduğumuzu hatırlamak. Bunu da şu şekilde yaparız: önce doğrunun üzerinde rastgele iki nokta alırız, mesela bu noktayı alalım. Bu noktanın x koordinatına da a diyelim. Peki, bu noktanın y koordinatı ne olur? Bu noktanın y koordinatı da f(a) olur ve bu nokta da doğrumuzun üstündedir. Doğrunun formülünü de hatırlayalım; f(x) eşittir mx artı b. m ve b'nin sayısal değerlerini bilmiyoruz çünkü bu sabit değerler fonksiyondan fonksiyona değişir. Hatırlayın ki, bir fonksiyonun y değeri demek x örneğin a iken, fonksiyonun kaç olacağıdır, yani x değerine göre bulunur. Şimdi de ikinci noktamızı seçelim. Bu noktamızın x koordinatına da b diyelim. Ve bu noktanın y koordinatı da tahmin edebileceğiniz gibi f(b) olacak. Parantez içinde (b, f(b)) değil mi? Çünkü bu noktayı ancak x değeri b iken elde edebilirsiniz. Fonksiyona b'yi yerleştirdiğinizde bu noktayı elde edersiniz. Noktamızı belirtmek için kesik çizgiler koyalım. F(b) tam burada olacak. Bu noktanın da koordinatlarını yazalım, belirgin olsun. Bu nokta da a, f(a). Peki, bu iki noktanın veya genel olarak bu doğrunun eğimini nasıl buluruz? Bir doğrunun her yerinde eğim aynıdır. Biliyoruz ki eğimi bulduğumuzda bu m değeri olacak. Bunlar öğrendiklerimizin bir tekrarı ama bunu nasıl yapacağız? Bunu birkaç şekilde düşünebiliriz: Eğim eşittir yükselme bölü ilerleme Bunu ilk cebir öğrendiğinizde görmüş olabilirsiniz, bu şekilde de yazabiliriz. Eğimi bulmak için kullandığımız formül ydeki değişim bölü xdeki değişim'dir. Şimdi bu soru için ydeki değişim bölü xdeki değişimi bulalım. ydeki değişim neye eşittir? Bunu bulurken bu noktayı ya da bu noktayı ilk yazabilirsiniz, ama seçtiğiniz sırayı korumalısınız. Neyse, bu noktanın y değeri daha büyük olduğu için ben ilk bunu alacağım. Şimdi, bu nokta ve bu nokta arasındaki fark şu aralığa eşittir. Bunu gösteren küçük bir üçgen çizeyim şimdi. Bu uzunluk y'deki değişimi gösterir ki bunu y eksenine de taşıyabilirim. Bu y'deki değişim.Bu uzaklık. Bu uzaklığı nasıl buluruz? f(b) eksi f(a) dediğimizde aradığımız farkı buluruz. f(b) eksi f(a) buna eşittir. Bu y'deki değişiminiz. Peki x'deki değişimiz ne? Eğim ydeki değişim bölü x deki değişim 'e eşitti. Peki x'deki değişimimiz kaç? Unutmayın, bunu ilk nokta olarak alıyoruz. Y'deki değişim için önce bunun y'sini sonra bunun y'sini almıştık. Bu sıra sabit olmalı, o yüzden şimdi bu noktanın x'i eksi bu noktanın x'i yapacağız. Bu noktanın x koordinatı b, yani bu b-a olacak. Böylece bir doğrunun denklemini biliyorsanız veya iki noktanın koordinatını bulup bu denkleme yerleştirirseniz eğimi bulabilirsiniz. Bu karışık olmayan bir konu ve bunu ilk cebir derslerinden biliyorsunuz Şimdi bunun aklınıza tam oturduğundan emin olmak için değerler vererel çözelim. Bu nokta 2,3 noktası olsaydı ve şu nokta da 5,7 noktası olsaydı ve biz bu doğrunun eğimini bulmak isteseydik ilk yapacağımız 7 eksi 3 olurdu. Çünkü bu bize y'deki değişimi verirdi. Sonra da 5'ten 2'yi çıkarıp x'deki değişimi bulurduk. 7 eksi 3 eşittir 4 ve 5 eksi 2 eşittir 3 Kısacası eğimimiz 4/3 olurdu. Şimdi bunu daha da genel bir ifade olarak yazmaya çalışalım ki aslında başlayacağımız yeni kavram da bu olacak zaten. Bakalım bulduğumuz formülü, bir doğru dışında bir eğri için de genelleştirebilecek miyiz? Diyelim ki bir eğrimiz var. Bunu bir eğri için genellemek için önce bir eğriye htiyacımız var tabii. Size benzerliği göstermek için eğrimin grafiğini yan tarafa yapacağım. Diyelim ki elimde bir eğrim var şimdi bunu çok genel utacağım. Alışılageldik bir eğri çizeceğim, onun üstünden gitmek daha mantıklı. Diyelim ki bu y= x kare eğrisi, buna benzer bir grafiğe sahip. Ben bu eğrinin eğimini bulmak istiyorum ya da bir noktadaki eğimini bulmak istiyorum. Bunu konuşmadan önce bir eğrinin eğimini almak nasıl bir şey diye düşünelim. Bu doğrunun eğimi hep aynıydı, değil mi? Ama bir eğride öyle değil ve sadece nasıl olduğunu anlayın diye bir şey göstermek istiyorum. Bu noktada ki eğim nedir? Şöyle düşünün, bu noktaya teğet geçen bir doğru var,tanjant doğrusu. Öyle ki sadece bu noktayla temas ediyor, eğrinin başka hiçbir yeriyle temas etmiyor. Bu doğru negatif bir eğime sahiptir. İkinci noktamızı morla yapacağım. Buradaki noktanın tanjant doğrusu yine negatif bir eğime sahip ancak negatifliği daha azalmıştır. Ve buraya geldiğimizde yani 0 noktasında tanjant doğrunuz yatay bir çizgi halinde ve bu yüzden de bu tanjant doğrusunun eğimi 0dır. Pozitif x değerlerine geçtiğinizdeyse eğiminiz pozitif olmaya başlıyor. Tanjant doğrularına bakarsanız eğimleri hem pozitif hem de git gide artıyor. Yani eğiminiz her zaman değişmekte. Bu durum doğru ve eğri grafikleri arasındaki en büyük farklardan birisidir. Bir doğruda eğiminiz hep aynıdır, zaten bu yüzden bir eğrinin üzerindeki noktanın eğimini bulurken tanjant doğrusu kullanırız. Dilediğiniz iki noktayı seçip, y'deki değişimin x'deki değişime oranının bulabilirsiniz ve bu size bütün doğrunun eğimini verir. Ama gördüğünüz gibi, bunu eğrilere uygularken farklılıklarla karşılaşıyoruz çünkü eğrilerde eğim her noktada değişmekte. Bu eğrinin eğimi nedir diyemeyiz. Eğim, eğrinin her noktasında farklıdır. Değişir. Daha da ileri gidersek, eğimin daha da dikleştiğini göreceğiz, bu noktadaki tanjant doğrusu da bunun gibi bir şeye benzeyecektir. Şimdi ufak bir deney yapalım, merak etmeyin sonucunu bildiğim için bunun riskli bir deney olmadığını söyleyebilirim! Bu benim y eksenim ve bu da benim x eksenim. Aslında buna f(x) diyelim. Y veya f(x), ikisi de olur. Şimdi eğrimi tekrar çizeyim. Eğrimi sadece pozitif x-koordinatlarının olduğu bölgeye çizeceğim, bu şekilde. Bu benim eğrim. Peki, buradaki eğimim nedir? Eğimi nasıl bulurum? Eğim tanımımıza bağlı olarak, eğimi bulmak için iki noktaya ihtiyacımız var , orası kesin değil mi? Burada tek bir noktayla eğimi bulamam. Buradaki x koordinatına x diyeceğim, genelleme yapmamız lazım. Eğimi bulmak için, geleneksel cebir tanımına göre, iki noktaya ihtiyacımız var. Burada başka bir nokta bulalım. Bu x değerinden daha büyük bir x değeri seçelim şimdi. Bu noktamızın yeri de x değerimizden h birim uzakta olsun. Yani bu değer x artı h şeklinde gösterilebilir. Peki, bu x koordinatına denk gelen y koordinatları ne olacak? Bu y eşittir f(x) fonksiyonuyla tanımlanmış bir eğri olduğu için x koordinatına tekabül eden y koordinatı f(x) olacak. Size belirli bir x'den bahsettiğimi göstermek için belki de x'in yanına küçük bir sıfır koymak daha iyi. Bu x0 artı h. Bu f(x0). Peki buradaki noktanın y koordinatı ne olacak? Bunun y koordinatı f parantez için de (x0 artı h) olacak. Bu onun y koordinatı. Peki, bu birbirlerine oldukça yakın iki nokta arasındaki eğim ne olacak? Unutmayın, aradığımız bu noktanın değil bu iki noktanın arasındaki doğrunun eğimi. Ve buraya tam bir doğru çizecek olsaydım, bu doğrunun adı sekant doğrusu olurdu. Yani eğriyi iki kez kesecek; bir bu bir de bu noktada. Biraz daha net bir şekilde şu kenara çizeyim. Bu bizim x0, f(x0) koordinatımız ve buradaki de x0 artı h, f(x0 artı h) koordinatımız. Bu fonksiyon her ne olursa olsun biz fonksiyonu bu x-koordinatında değerlendiriyoruz, bu kadar. Bunlar elimizdeki iki noktamız ve belki de iyi bir başlangıç bu sekant çizgisinin eğimini bulmamız lazım. Bir önceki örnekte yaptığımız gibi bu y'deki değişim bölü x'deki değişim formülüyle bulunabilir. Y'deki değişiminiz burası ve x'deki değişiminiz de burası olacak. Peki, sekant çizgisinin eğimi ne olacak? Buradaki noktayla başlayalım çünkü değer olarak daha büyük gözüküyor. Bu noktanın y koordinatı f(x0 artı h). Y koordinatını bulurken tek yaptığımız y değerini göstermesi için fonksiyona f x değerini koymak oldu. Yani y koordinatım f(x0 artı h) eksi alttaki noktanın y koordinatı, yani f(x0) olacak. Bu y'deki değişimimize eşit ve bunu x'deki değişime bölmek istiyoruz. O zaman x'deki değişimi bulalım. Değerleri daha büyük olan koordinatla başlamıştık o yüzden aynı sırayla ilk 10nun x koordinatını yazacağım.x0 artı h eksi x0. Bu da x'deki değişimimiz için , işte böyle. Yani bu sekant çizgisinin eğimi. Hala eğimin bu noktada ne olduğunu bulmadık ama oraya doğru gidiyoruz. Sekant çizgisinin eğimi eşittir fonksiyonun bu noktadaki değerine yani f(x0 artı h) eksi f(x0) Bu bize y'deki değişimi verir. Bu her zaman kullandığımız eğim formülü. Bölü x'deki değişim ve bunu sadeleştirebiliriz. Elimizde x0 artı h eksi x0 var , x0 lar birbirlerini götürür. Bu değer bölü h. Bu da y'deki değişim bölü x'deki değişime eşit. Tamam. Ama başta bu noktadaki eğimi bulmak istediğimi söylemiştim. Bu onun uzaklaştırılmış hali. Ne yapabiliriz acaba? Buradaki ikinci noktayı, ilk nokta artı h olarak belirttim ve elimizde limit denen bir şey olduğunu tam şu saniye de hatırlamalıyız. Bu h genel bir sayı. 10 olabilir , 2 olabilir, 0.02 olabilir 10 üzeri 10 olabilir, 100 olabilir, kısaca her şey olabilir. Çok küçük bir sayı da olabilir. Peki, en azından teorik olarak, h sıfıra giderken limitini alırsam ne olur? Belki de h büyük bir sayı sayıdır ama h'yi biraz daha küçültürsem bu noktadan geçen sekant doğrusunun eğimini bulurum. h'yi biraz daha küçük alırsam o zaman bu sekant doğrusunun eğimini bulurum, h'yi daha da küçültürsem o zaman bu sekant çizgisini bulurum. Yani h değeri sıfıra yaklaştıkça, ben bu noktanın eğimini bulmaya daha çok yaklaşırım, değil mi? Eğer h büyük bir sayıysa sekant doğrusunun eğimi o noktadaki eğimden uzaklaşacaktır. Ama eğer h 0.0000001 ise, yani çok küçük bir sayıysa, yaklaşıyorum demektir. Yani eğer h'nin limitini 0'a yaklaştırırsak ne olur? Burayı yeşille yazayım limit h 0'a yaklaşırken f(x0 artı h) eksi f(x0) ki bu y'deki değişimi bölü h, bu da x'de değişimim. Şimdi bir şeyi açıklığa kavuşturalım, bazen değişik hesaplama kitaplarında ,h yerine delta x yazılıyor. Bu ikinci nokta x artı delta x olarak tanımlanır ve bu sadece delta x 'e sadeleşir ve limiti delta x0'a yaklaşıyor olarak alırız. Tıpkı aynı şey h veya delta x, fark etmez, ikisi de x'deki değişimi gösterir. h'yi, büyük x'le küçük x değeri arasındaki fark olarak alırız ve sonra da 0'a yaklaşırken ki limitini buluruz. Buna delta x de diyebilirdik, hiçbir farkı olmazdı. Bu şeye ki bu tanjant doğrusunun eğimine eşit f'nin türevi diyeceğim f ' (x) olarak gösterilir. Ve bu aslında başka bir fonksiyon olur. Çünkü unutmayın eğim her x değerinde değişir. Her ne x değerini alırsanız alın, eğim farklı olacaktır. Her zaman olmak zorunda değil ama benim çizdiğim bu eğride öyle. Şimdi bana burada bir x değeri verirseniz, bunu buradaki formüle uygulayıp size o noktadaki eğimi söyleyebilirim. Şu an bunların biraz kafa karıştırıcı göründüğünün farkındayım. Ancak bir sonraki videoda, sayılar üzerinden gittiğim bir örnekle eğimi hesaplayacağım ve bu her şeyi biraz daha somut biraz daha anlaşılır hale getirecek.