Çözümlü Örnek: Sayıları Sınıflandırma

3 nokta 4, 0, 2, 8, 4028 3 nokta 4028 ve sondaki 2, 8 de devirli imiş. Peki bu sayı, hangi sayı kümesine aittir? Soruyu cevaplamaya başlamadan önce, düşünmemiz gereken şey, devirli sayıların ne demek olduğu ve bu çizginin ne anlama geldiği? Bu çizgi, 28'in tekrar ederek, devam ettiğini anlatır. Bu sayıyı, 3 nokta 4, 0, 2, 8 şeklinde yazarım ve 28, kendini tekrar etmeye devam eder. Açıkça görüldüğü gibi, 28'i tekrar tekrar yazmaktansa, üstüne bu çizgiyi koymak çok daha mantıklı. Peki bu sayı, hangi sayı kümesine aittir? Videolar boyunca incelediğimiz en geniş küme, reel sayılar kümesiydi, değil mi? Bu sayının, reel sayıların bir elemanı olduğu da kesin. Reel sayılar, aslında, sayı doğrusunda kullandığımız sayıların, tamamını kapsıyor. 3.4028 de buralarda bir yerde. Burası eksi 1 olsun, burası 0, 1, 2, 3, 4 evet... 3.4028 de 3.4'ten biraz büyük ve 3.41'den de biraz küçük. Sonuçta, kesinlikle bu sayı doğrusu üzerinde. Bir reel sayı. Ancak bir rasyonal sayı olup olmadığı, pek de açık değil. Hatırlayalım, rasyonal sayılar, rasyonel yada başka değişle, kesirli şekillerle ifade edilebilen sayılardı. Eğer p'nin, rasyonal olduğunu söylersem, bu şu demek; p, iki tamsayının oranı olarak yazılabilir. Mesela, m bölü n. Soru şu: Bu sayıyı, iki tam sayının oranı şeklinde yazabilir miyim? Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bu sayıyı, bir kesir olarak yazabilir miyim? Hadi bu sayıyı bir kesir olarak yazalım. x, bu sayının eşiti olsun. x eşittir, 3, nokta 4, 0, 2, 8, evet 2, 8'de devirli, peki. 10000x ne olur? 10000x dememin sebebi şu; noktayı buraya taşımak. 10000x Peki bu neye eşit? Bir sayı 10'un 1. kuvveti ile her çarpışta, nokta bir basamak sağa kayar değil mi? Biliyoruz... 10000, 10'un 4. kuvveti, yani buradaki noktamızı, 4 basamak kaydıracağız. 1, 2, 3, 4, evet... Yani 34028 olur. Ancak 28 tekrar etmeye devam eder. Yani bu 28'ler, tekrar tekrar olacak. Bu sayıların hepsi, noktanın 5 basamak soluna kaydı. Şöyle de bakabilrsiniz. Bu sayı neredeyse 3 buçuk. 10000'le çarpınca da neredeyse 35000 oldu. Bu 10000x Peki, bir de 100x'i düşünelim. Yaptığım şeyin amacı, x'lerle iki sayı elde etmek, ve bu iki sayıyı birbirinden çıkararak tekrar eden bölümlerin birbirini götürdüğü x cinsinden sayılar elde etmek. Böylece de kolaylıkla işlem yapabilriz. Peki,şimdi ne demiştik? 100x'i düşünelim, 100x Bu durumda nokta, 2 basamak sağa kayar. Evet böyle yazayım. Bu sayı, 340.28 devirli olur. Yani 28 tekrar eder. Bu biraz ilginç, çünkü bir öncekinde devrili kısmı, noktadan önceye almaya uğraşmıştık. Burada ise noktanın diğer tarafında. İş şimdi ilgi çekici hale gelmeye başladı. Bu iki sayıyı da, x'in katları şeklinde yazdık. Peki, üsttekini, alttakinden çıkarınca ne olur? Devirli bölüm yok olacak. Hadi yapalım. Denklemin iki tarafına da bunu yapalım. Sol tarafta, 10000x eksi 100x, 9900x eder değil mi? Sağ tarafta da, noktadan sonraki kısım birbirini götürür. 34,028 eksi 340 Evet, çıkaralım. 8 aşşağıya aldık. 12'den 4 çıktı, 8 kaldı. Orada var 9 kaldı burası, evet 9'dan 3 çıktı, 6 kaldı. Burası da 33 tamam, evet... Demek ki, 9.900x, eşittir 33,688. Bu sayıdan 340'ı çıkardık ve 33,688'i bulduk. x i bulmak için de, iki tarafı 9900 ile böleriz. Solu 9900'a böl. x kaldı. Peki, sağı 9900'a böl ne kaldı? Evet, x eşittir 33,688 bölü 9900. Peki mesele ne? x, bu sayıydı, ve bu devirliydi. Birazcık matematikle sayıyı değiştirdik, ve x'i, bir kesir haline getirdik. Bu en sade biçimi değil tabiki, iki taraf da mesela, 2'ye ya da 4'e bölünebilir. Aslında sadeleştirmemiz gerekir ama bunu önemsemiyoruz şu an.. Burada önemsediğimiz şey, bu sayının bir kesir şeklinde yazılabilmiş olması. Bu sayı da, iki tam sayının birbirine oranı olarak yazılabildiğinden, bir rasyonal sayıdır. Bu kullandığımız teknik bütün devirli sayılara uygulanabilir. Herhangi bir tekrar eden basamak gördüğünüzde, bu, biraz önce uyguladığımız tekniği, kullanabilirsiniz. Genellikle devirli sayılar rasyonaldir. İrrasyonal olanlar, pi gibi tekrar etmeden, sürekli devam eden sayılardır. Açık olan bir diğer şey de, bu sayının bir tam sayı olmadığı. Tam sayılar göz önünde bulundurduğumuz doğal sayılar. Bir sayma sayısı ya da doğal sayı da değil; çünkü onlar tam sayıların alt kümeleri. Yani bunların herhangi biri değil. Bu sayı bir reel ve rasyonal sayı.