Bir Çokgenin İç Açılarının Toplamı

Bir üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunu biliyoruz.Eğer bu açıya A dersek Bu açıya B dersek ve bu açıya da C dersek A artı B artı C'nin 180 derece olduğunu biliyoruz. Peki üçten fazla kenarı olan çokgenlerde durum nedir? Mesela bir dört kenarlı çokgeni deneyelim. Muhtemelen bütün dörtgenlerde durum aynıdır. illa ki kenarları paralel veya dik açılı olmaları falan da gerekmez, Neyse bu biraz paralel oldu ama. Evet o zaman şöyle çizelim. Bir üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunu zaten biliyoruz. Belki de bunu iki üçgene bölebiliriz. Tam olarak buradaki noktadan, mesela şöyle bir çizgi çizersek. O zaman bu açıya A dersek, buna B buna da C dersek ne demiştik ? A artı B artı C'nin 180 derece olduğunu biliyoruz. Sonra buraya x, buraya y ve buraya da z diyelim. Bunlar da bu açıların ölçüleri olsun. X artı Y artı Z'nin de yine 180 derece olduğunu biliyoruz. Sonuç olarak eğer tüm iç açıların toplamını istiyorsak B artı Z ki bunlar tüm poligonun iç açıları, artı bu açı ki bu da A artı X demektir A artı X dörtgen için bu açının tümü. Artı tüm bu açı yani C artı Y. Peki, A artı B artı C 180 dereceydi. Z artı X artı Y de 180 dereceydi ne etti ? 360 derece. Sanırım ana fikri kavradınız. Çokgenin içine kaç tane üçgen sığdırabileceğimizi bulmaya çalışıyoruz ve sonra da bunu 180'le çarpıyoruz. Şimdi düzensiz bir çokgen çizelim 1, 2, 3, 4, 5 biraz eve benzedi ama neyse... Bir kez daha söylüyorum üçgenlerimizi bu beşgenin içine çizebiliriz, sığdırabiliriz. Şöyle bir üçgen mesela... Bu da başka bir üçgen Böylece bu beşgeni tamamen kaplayan üst üste binmemiş üç tane üçgen çizmiş olduk. Biliyoruz ki her biri 180 derece Eğer açılarını toplarsak. Ayrıca biliyoruz ki tüm bu iç açıların toplamı çokgenin tüm açılarının toplamına eşittir. Bu iç açı çokgenin iç açılarından biri. Bu da öyle. Bunun ve bunun toplamını alırsanız tüm çokgenin iç açılarını bulmuş olursunuz. Bununla bunu ve de bunu toplarsanız da aynı şekilde. Yani çokgenin tüm iç açılarının toplamını almak isterseniz bu durumda 1, 2, 3 tane üçgeniniz var. Evet 3 kere 180 ne eder ? 300 artı 240, 540 derece eder. Biraz daha genelleştirirsek dörtgende kullandığımız ilk iki üçgene geri dönelim. Bu dörtgende tüm kenarları kullanmıştık. Bu beşgende de beş kenarın dördünü kullandık 1, 2, 3, 4 yani dört kenar size iki üçgen veriyor. Buna göre çokgene her kenar eklendiğinde yeni bir üçgen çıkartabiliyoruz. Bunu bir altıgenle deneyelim mesela. Bakalım bundan kaç tane üçgen çıkartabileceğiz. 1, 2, 3, 4, 5, 6 , tane kenar evet 6 kenar. Bu iki kenardan bir üçgen çıkardım evet altıgenin iki kenarından bu iki kenardan da başka bir üçgen çıkardım ve görünüşe göre kalan her iki kenardan da birer üçgen daha çıkardım. Yani bundan bir tane bundan bir tane, diyelim ki S tane kenarımız var. S kenarlı çokgen Dörtgen, beşgen ve altıgeni zaten gördük. Yani S'in 4'ten fazla kenarı olduğunu varsayıyoruz. Bakalım bu çokgeni kaplayacak ve üst üste binmeyen kaç tane üçgen çıkacak. İçine kaç tane üçgen sığdırabileceğim. Sonra çokgenin iç açılarının toplamını bulabilmek için üçgenlerin sayısını 180 dereceyle çarpacağız. Güzel, evet şimdi üçgenlerin sayısını kenarların bir fonksiyonu olarak bulalım. Bir kez daha söylüyorum 4 kenar 2 üçgen yapıyor. Burada iki burada da iki kenarımız var. Evet peki çokgenin geri kalanına ne oldu? Yedim. Şaka.. Bu bölüme kocaman bir parça siyah kağıt kapattığımı düşünebilirsiniz. Orada başka kenarlar da olabilir ama şu anda onları düşünmeyeceğiz. Bu iki kenara şu şekilde bir üçgen çizebilirim. Buradakine de şöyle bir üçgen çizelim. Yani 4 kenara 2 üçgen. Bunlardan başka kaç tane daha kenar olursa olsun. Birazcık saçmalayalım, olmadı biraz daha düzgün çizelim durun bir saniye. Görünüyor ki eklenen her bir kenardan yeni bir üçgen çıkartabilirim. Buradan bir, buradan bir, buradan bir tane daha ve bu köşeden de bir tane daha üçgen çıkartıyoruz. Örneğin, çizdiğim bu şekil oldukça düzensiz. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, değil mi? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9 10 Evet bu bir ongen. Evet bu ongende 4 kenardan 2 üçgen ve diğer 6 kenardan da toplamda... Doğru sayıyorum atladığım bir şey yok değil mi? Hah tamam şuraya bir çizgi daha çizmem gerekiyor! Çünkü bunlar farklı köşeler. Buradan bir üçgen daha çıkartabilirim. İşte bu kadar. 4 kenardan çıkan bu üçgenlerimiz var, ve diğer 6 kenardan da her biri için bir üçgen artı 6, toplamda ne oldu ? 8 tane üçgenimiz var. Yani genel olarak şöyle düşünebiliriz, bunu yazalım. Üçgenlerimizin sayısı eşittir 2. Kalan kenarlar ki her birinden bir üçgen çıkacak kalan kenarlar da S eksi 4 olmalı. Üçgenlerin sayısı 2 artı S eksi 4 olmalı değil mi ? Bu da S eksi 2 demektir. Yani eğer S kenarlı bir çokgenim varsa ondan üst üste binmeyen ve çokgeni tamamen kaplayan S eksi 2 tane üçgen çıkartabilirmişim. Bu da gösteriyor ki S kenarlı bir çokgenden S eksi 2 üçgen çıkıyorsa, iç açılar toplamı S eksi 2 çarpı 180 derece olacaktır, Evet bu da süper bir sonuç. Yani eğer birisi sana 102 kenarlı bir çokgeni olduğunu söylerse o insandan kaç. Hayır kaçmanıza hiç gerek yok. Yani S 102'ye eşitse siz de, tamam iç açılar toplamı 102 eksi 2 eşittir 100. 100 çarpı 180 derece bu da eşittir 180 sonuna iki sıfır daha eklersek 102 kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı 18.000 derece olacaktır. İşte bu kadar..