If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:5:07

İspat: Eşkenar Dörtgenin Alanı Köşegen Uzunluğunun Yarı-Çarpımıdır

Video açıklaması

Bize ABCD dörtgeninin bir eşkenar dörtgen olduğunu söylüyorlar. Bu eşkenar dörtgenin alanının AC çarpı BD'nin yarısına eşit olduğunu kanıtlamak aslında bir eşkenar dörtgenin alanının köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşit olduğunu kanıtlamaktır. Evet, uzun bir cümle oldu farkındayım ama birazdan anlayacaksınız ne demek istediğimi. Burada ilk olarak ne yapabileceğimize bir bakalım. Eşkenar dörtgen hakkında bildiğimiz birçok şey var. Her eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ve paralelkenarlar hakkında da bildiğimiz tonlarca şey var. İlk olarak, eğer bu bir eşkenar dörtgen ise tüm kenarları eştir. Bu kenarın uzunluğu bu kenara eşit, bu kenara eşit bu kenara eşit, hepsi birbirine eşit. Bu bir paralelkenar olduğu için de köşegenlerinin birbirlerini ortadan birbirlerini ortadan kestiğini biliyoruz. Köşegenler birbirlerini ortadan kesiyorlar. Bu noktaya E noktası diyelim BE'nin ED'ye ve AE'nin de EC'ye eşit olacağını biliyoruz. Aynı zamanda bu bir eşkenar dörtgen olduğu için köşegenlerinin sadece orta noktada kesişmediklerini aynı zamanda dik kesiştiklerini de geçen videomuzda kanıtlamıştık. Bunun bir dik açı olduğunu o zaman biliyoruz. Bu bir dik açı. Bu bir dik açı ve sonra bu da bir dik açı Bunu anlamanın en kolay yolu, eğer bu ADC üçgeninin ABC üçgenine eş olduğunu gösterebilirsek ve bir tanesinin alanını bulabilirsek bunu direk ikiye katlayabiliriz. İlk kısım gayet açık. ADC üçgeninin ABC üçgenine eş olacağını biliyoruz ve bunun kenar-kenar-kenar eşliği de olacağını biliyoruz. Bu kenar bu kenara eş. Bu kenar da bu kenara eş ve ikisi de burada AC kenarını paylaşıyorlar. Yani bu eşlik kenar-kenar-kenar sayesinde Bu yüzden ABCD'nin alanının bunlardan birinin 2 katı olacağını biliyoruz. Herhangi birini seçebiliriz ABC'nin alanının iki katı diyebiliriz. Bu şekilde yazayım. ABCD'nin alanı ADC'nin alanı artı ABC'nin alanına eşittir ama onlar eş oldukları için bu iki alan aynı olacaktır. Ve bu yüzden ABCD'nin alanı ABC'nin alanının 2 katıdır. Peki, ABC'nin alanı nedir? Bir üçgenin alanı taban çarpı yüksekliğin yarısıdır. ABC'nin alanı o üçgenin tabanı çarpı yüksekliğinin yarısına eşit o zaman. Peki, tabanının uzunluğu nedir? Tabanının uzunluğu AC'dir. Güze, bunu bir renkle kodlayalım. Şöyle taban AC. peki buradaki yükseklik ne? Buradaki köşegen çizgisinin bir orta dikme olduğunu biliyoruz yani yükseklik BE'de olan mesafe. Yani, AC kere, BE olacak o zaman bu yükseklik. Bu bir yükseklik, bu üçgenin yüksekliği değil mi? Bu taban ile 90 derecelik bir açıyla kesişiyor. Ya da BE, BD'nin yarısına eşittir diyebiliriz. Bu AC'nin yarısına eşittir, bu bizim tabanımız. Yüksekliğimiz BE bu da BD'nin yarısı. Yani bu ABC'nin alanıdır daha geniş olan, yani tam buradaki daha büyük olan üçgen. Eşkenar dörtgenin yarısı olan. Daha biraz önce zaten tüm bu şeyin onun 2 katı olduğunu söyledik. Eğer geriye gidersek tam burada hem bu bilgiyi hem de bu bilgiyi kullanırsak ABCD'nin alanı ABC'nin alanının 2 katına eşit olacak Evet, ABC'nin alanının 2 katı, ABC'nin alanı da tam burada. AC'nin yarısı çarpı BD'nin yarısı. Artık işin nereye gittiğini görebiliyorsunuz. 2 kere 1 bölü 4 AC çarpı BD. Tabi, paralelkenarların alanlarını bulmanın başka yolları da var. Genellikle, bu aslında taban çarpı yüksekliktir. Bir eşkenar dörtgen için de bunu yapabiliriz çünkü bu bir paralelkenardır. Ve aynı zamanda bu videoda kanıtladığımız diğer sonucumuz var. Ve eğer köşegenlerin uzunluğunu biliyorsak eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerinin uzunluğunun yarısına eşittir.