If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Örnek: En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

2 sayıyı da bölen en büyük sayıyı bulun. Buna EBOB veya en büyük ortak bölen diyoruz. Merak etmeyin, nasıl yapacağınızı göstereceğiz. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

  • tegin yabgu kullanıcısının avatarı male robot hal style
    105'i asal çarpanlarına ayırırken neden 3*35 yerine, 5*21 yaptınız hocam? asal çarpanlara ayırma, çarpanların en küçüğünden başlamıyor mu?
    (4 oy)
     kullanıcısının avatarı Default Khan Academy avatar
    • Murat Avcim kullanıcısının avatarı male robot hal style
      Cevap için biraz geç fakat sonradan görenler için yararlı olacağını umuyorum.
      Asal çarpanlarına ayırma işlemi, çarpan ağacı yöntemi kullanılarak yapılır. Bu yöntemde en küçük asal çarpanlardan başlanarak işlem yapılır. Ancak, başka bir asal çarpandan başlanması durumunda, sonuç yine aynı olacaktır. Yani, sayı asal çarpanlarına ayrılacaktır. Fakat, farklı bir sırayla ayrılacaktır.

      Örneğin, 84 sayısını asal çarpanlarına ayırmak istediğimizi düşünelim. En küçük asal çarpanlardan başlamak yerine, 7 ile başlarsak:

      84 = 7 * 12

      12 = 2 * 2 * 3

      Sonuç olarak, 84 sayısı 7, 2 ve 3 asal çarpanlarına ayrılmış oldu. Yine aynı sonuca ulaşıldı, ancak farklı bir sırayla çarpanlarına ayrıldı. Bunun sebebi çarpma ve toplama işlemlerinde yer değiştirme özelliği olmasıdır.
      (4 oy)
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

en büyük ortak bölen alıştırması 20 ve 40’ın en büyük ortak böleni nedir? Bunu ebob(20,40)=? Şeklinde yazabiliriz. En büyük ortak bölen terimi kulağa çok havalı bir şeymiş gibi geliyor. Ama aslında bu ‘20 ve 40’ı tam olarak bölen en büyük sayı nedir?’ demekten farklı bir şey değil. Bu örnek aslında oldukça basit, zira 20 halihazırda 40’ı tam olarak bölebiliyor. Yani 20 ve 40’ın en büyük ortak böleni 20’dir diyebiliriz. 20 eşittir 20 kere 1ve 40 eşittir 20 kere 2. Bu örnek için kalem oynatmamıza bile gerek yok, cevap 20. Bir kaç örnek daha çözelim. 10 ve 7’nin en büyük ortak böleni nedir? İşte daha zorlu bir soru. Kara tahtamıza yazalım. ebob en büyük ortak bölen (10,7)=? Bunu yapmanın iki yolu var. Birincisi, bu iki sayının tüm çarpanlarını yazmak, sadece asal çarpanlarını değil, bütün çarpanlarını. Sonra da en büyüğünün hangisi olduğuna bakacağız. Elimizde 10 var. 1 çarpı 10 ya da 2 çarpı 5 olarak yazılabilir. O halde 1, 2, 5 ve 10, 10’un çarpanları. Aynı zamanda bölenleri. Ortak bölenlerin en büyüğüne ortak çarpanların en büyüğü de denir. Peki ya 7? 7 asal bir sayı, yani çarpanları kendisi ve 1. O halde ebob nedir? Ortak tek bir bölen var, o da 1. Yani 10 ve 7’nin ortak çarpanlarının ya da bölenlerinin en büyüğü 1’dir. Hadi bir tane daha yapalım. 21 ve 30’un en büyük ortak böleni nedir? Bu aynı zamanda ortak çarpanlarının en büyüğü demek. Yazalım, ebob (21,30)=? Bir kez daha söyleyelim, bunu yapmanın iki yolu var. Az önce çarpanların hepsini yazma yolunu göstermiştim. Hızlı bir şekilde yine aynı yöntemi kullanayım. 21’in çarpanları nelerdir? 1 ve 21, 3 ve 7. Hepsi bu kadar. 30’un çarpanları; 1 ve 30, 2 ve 15, 3 ve 10, 5 ve 6. 30’un çarpanları bunlar. Ortak çarpanlar hangileri? 1 ve 3. En büyüğü ise 3. Yani cevap 3. Deminden beri ikinci bir yöntemden bahsediyorum, evet şimdi de onu anlatayım. Bu yöntem asal çarpanlarına ayırmayı içeriyor. 21’i asal çarpanlarına ayırıyoruz, 3 ve 7. 30’u yapalım; 3 ve 10, 10’un asal çarpanları da 2 ve 5. 21 ve 30’un ortak asal çarpanlarından en büyük hangi sayıyı elde edebiliriz? Asal çarpanlarına ayırdığımız bu işlemde ortak olan tek sayı 3. O halde 21 ve 30’un en büyük ortak böleni ya da en büyük ortak çarpanı 3 diyebiliriz. Eğer hiç ortak çarpan olmasaydı en büyük ortak bölen 1 olacaktı. Hadi şimdi daha ilginç bir örnek yapalım, iyice anlayın. Diyelim ki 105 ve 30’un en büyük ortak bölenini arıyoruz. ebob (105, 30). Bu sefer asal çarpanlarına ayırmak daha mantıklı, zira 105’in çarpanlarının tümünü bulmak biraz uğraştırabilir. Asal çarpanlarına ayırırsak...105, 5’e kesinlikle bölünüyor, diğer çarpan 21, 21’in asal çarpanları 3 ve 7. Yani 105’in asal çarpanlarına ayrılmış hali, küçükten büyüğe doğru yazarsak 3 çarpı 5 çarpı 7. 30’u asal çarpanlarına ayırdığımızda ise elimizde 2 çarpı 3 çarpı 5 oluyor. Bu asal çarpanların ortak olanlarına bakıyoruz. 3 ve 5 ortak, o halde en büyük ortak bölen, aynı zamanda en büyük ortak çarpan bu iki sayının çarpımı olacak. ebob (105, 30)=15 İki yolu da kullanabilirsiniz. Çarpanların hepsini yazıp ortak ve en büyük olanın hangisi olduğuna bakabilirsiniz. Ya da sayıları asal çarpanlarına ayırıp ortak olanların çarpımıyla ebob’i bulabilirsiniz.