Alt Küme, Değişmez Alt Küme ve Üst Küme

Kendimize birkaç küme tanımlayalım. Diyelim ki A kümesi bir, üç, beş, yedi ve on sekiz sayılarını içermektedir. B kümesi -bunu farklı renkte yazayım- bir, yedi ve on sekiz sayılarını içermektedir. C kümesi ise, on sekiz, yedi, bir ve on dokuz sayılarını içermektedir. İşte bu videoda işlemek istediğim şey, bir altkümenin doğası. İlk sorumuz; B, A'nın altkümesi midir? Tabii burada altküme nedir diye de sorabilirsiniz. Eğer kümenizdeki tüm elemanlar, aynı zamanda diğer bir kümenin de elemanıysalar, bu elinizdeki kümenin bir altküme olduğunu gösterir. Dolayısıyla burada B, A'nın altkümesidir diyebilir ve bu işaretle bunu gösterebiliriz. Buraya yazayım. B'deki tüm elemanlar, aynı zamanda A'nın da elemanlarıdır. İşi biraz daha ileri götürüp, B, A'nın özalt kümesidir de diyebiliriz. Çünkü burada B, A'nın altkümesidir, ancak A'ya denk değildir. A'da, B'de olmayan elemanlar vardır. Dolayısıyla burada B, A'nın özalt kümesidir de diyebiliriz. Bunu da burada, altküme işaretinin eşittire benzeyen kısmının üstüne bir çizik atarak oluşturduğumuz işaretle gösteriyoruz. Tekrar edeyim, B, A'nın özalt kümesidir, çünkü B'nin tüm elemanları aynı zamanda A'nın da elemanlarıdır, ancak A'nın tüm elemanları aynı zamanda B'nin de elemanları değillerdir. Buraya yazayım. Örnek olarak; A, A'nın altkümesidir diye ifade edebiliriz, çünkü her küme kendisinin altkümesidir, yani A'nın her elemanın, zaten A'nın elemanıdır. Ancak A, A'nın özalt kümesidir yazamayız, yani buradaki yanlıştır. O zaman birkaç alıştırma daha yapalım. B, C'nin altkümesidir diyebilir miyiz? Bakalım. C, bir, yedi ve on sekizi içeriyor. Yani B'nin her elemanı C'nin de elemanı. Dolayısıyla bu ifade doğrudur. Peki, C, A'nın altkümesidir diyebilir miyiz? Bakalım. C'nin her elemanının A'da da olup olmadığına bakıyoruz. A'da on sekiz, yedi ve bir var, ancak on dokuz yok. O zaman bu ifade de yanlış demektir. Ayrıca burada B, C'nin altkümesidir yazdığımız gibi, B, C'nin özalt kümesidir de yazabiliriz. Şimdi, bu ifadeleri tersine çevirerek üstkümelerden de bahsedebiliriz. Buradaki işareti ters çevirerek, A, B'nin üstkümesidir şeklinde ifade edebiliriz. Bu aslında B, A'nın altkümesidir demenin bir başka yoludur, ancak buna A, B'deki tüm elementleri içermektedir şeklinde de bakabiliriz. Daha fazla element de içerebilir, yalnızca aynı elementleri de içerebilir. Her ne kadar tam anlamıyla aynı şey olmasalar da, eğer bu sembole büyük eşit gibi bakarsak, buradaki çizgi bir nevi eşittir anlamına gelir. Tabii burada aynı şekilde, A, B'nin öz üstkümesidir de yazabiliriz. Bu da, A, B'nin tüm elemanlarını ve daha fazlasını içerir, yani B'ye denk değildir demektir. Umarım bu anlattıklarım sizi altkümelere, üstkümelere ve özalt kümelere aşina hale getirmiştir.