Mutlak Değer Denklemleri ve Grafikleri

Evet haydi mutlak değer ile ilgili birkaç denklem çözelim. Evet önce küçük bir tekrar bir sayının mutlak değerini aldığınızda. Diyelim ki negatif 1'in mutlak değerini alalım. Asıl yaptığımız şey "Bu sayı 0'dan ne kadar uzak?" sorusunu sormak. Ve negatif 1 söz konusu olduğunda, bir sayı doğrusu çizersek Evet çok evet bir sayı doğrumuz olsun şurada. bu 0. Ve burada da negatif 1 var. Ve 0'dan 1 birim uzak. Yani, negatif 1'in mutlak değeri 1 miş. Ve 1 de 0'dan 1 birim uzakmış değil mi. Yani, 1'in mutlak değeri de 1. Sonuç olarak mutlak değer bir sayının 0'a olan uzaklığı. Fakat, sanrım mutlak değeri bulmanın daha kolay bir yolu çıkan sonucun her zaman o sayının pozitif versiyonu olduğunu düşünmek. Mesela negatif 7346'nın mutlak değeri 7346'dır. Şimdi öğrendiklerimizi aklımızda tutarak mutlak değerlerle ilgili birkaç denklem çözelim. Diyelim ki bu denklemde x eksi 5'in mutlak değeri 10'a eşit. Aslında bunu şöyle düşünmenizi istiyorum, evet şu şekilde düşünmemiz lazım bu, x ve 10 arasındaki uzaklık 10 birim demek. Yani 10, 5'ten kaç birim uzak? Soru bu. Şimdi siz bu denklemin çözümünü düşünmüşsünüzdür. ama ben sizlere bunun nasıl sistematik bir şekilde çözüleceğini göstereceğim. Şimdi, bu denklemdeki eşitlik iki durumda sağlanacak. x eksi 5 pozitif 10'a eşit diyelim. Bu, pozitif 10'a eşitse mutlak değerini aldığımızda yine pozitif 10'a eşit olacak. Peki x eksi 5 negatif 10'a eşit dediğimizde ne olcak. Eğer x eksi 5 negatif 10'a eşitse mutlak değerini aldığımızda yine 10 olacak. Yani, x eksi 5 negatif 10'a da eşit olabilir. Bunların ikisi de denklemde eşitliği sağlar. Şimdi, bunu çözmek için, denklemin iki tarafına da 5 ekleyelim. Cevap x eşittir 15 çıkıyor. Şimdi de diğer tarafı Bunu çözmek için denklemin yine iki tarafına 5 ekleyelim. x eşittir negatif 5 çıktı. Yani sonucumuz, yani bu eşitliği sağlayan iki tane x değeri varmış. x 15 olabilir. 15 eksi 5 eşittir 10, mutlak değerini alalım 10 çıkacak ya da, ya da x negatif 5 olabilir, Negatif 5 eksi 5 eşittir eksi 10. Mutlak değerini aldık, 10 çıktı. Ve farkındaysanız bu iki sayı da 5'ten 10 birim uzak. Haydi bunlardan bir tane daha yapalım. Evet bir tane daha yapalım. Diyelim ki x artı 2'nin mutlak değeri 6. Peki bu ne demek? Bu şu demek ya mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2 6'ya eşit demek. Ya da mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2 negatif 6'ya eşit demek. Bu negatif 6'ya eşitse mutlak değerini alırız 6 çıkar. Yani, x artı 2 negatif 6 da olabilir. Ve bu denklemin iki tarafından da 2 çıkarırsak cevabımız x eşittir 4 olur. ama bu denklemin iki tarafından 2 çıkarırsak cevabımız x eşittir negatif 8 olur. Böylece bu problemi x eksi negatif 2 eşittir 6 olarak da yazabilirsiniz. Yani bu problem bana negatif 2'den 6 birim uzak olan x değerlerini soruyor. Hatırlarsanız burada bir önceki soruda hangi x değerleri pozitif 5'ten 10 birim uzak diye sormuştuk. Pozitif 5'ten hangi sayıyı çıkarırsak çıkaralım bu iki değer de pozitif 5'ten 10 birim uzak. Burada da: "Hangi sayı negatif 2'den 6 birim uzak?" diye sormak. Ve, bu sayılar 4 ya da negatif 8 olacak. Bu değerlerin eşitliği sağlayıp sağlamadığına siz de bakabilirsiniz. Evet haydi bunlardan bir tane daha yapalım. Bir tane daha evet bunu da morla çizeyim evet. Diyelim ki diyelim ki 4x 4x evet bu problemi biraz değiştireceğim. 4x eksi 1'in 4x eksi 1'in mutlak değeri yok böyle kalsın tamam 19'a eşit. Yani, geçen problemdeki gibi 4x eksi 1 19'a eşit olabilir. Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir. Çünkü bu durumda mutlak değeri aldığımızda yine 19 çıkacak. Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir. Sonra sadece bu denklemleri çözüyoruz. Evet şimdi denklemin iki tarafına da 1 ekleyelim evet iki tarafada 1 ekledik burada ne oldu 4x eşittir 20 çıktı. Peki bu tarafta ne oldu. Denklemin burada da iki tarafına 1 ekledik ne oldu 4x eşittir negatif 18 çıktı. Pekala bunun iki tarafını da 4'e bölün, x eşittir 5. Buradaki yine denklemde iki tarafını da 4'e bölelim, x eşittir negatif 18 bölü 4 bunları da 2 ye bölersek negatif 9 bölü 2. Yani x'in bu iki değeri de eşitliği sağlıyor. Deneyelim. Negatif 9 bölü 2 çarpı 4. Evet bu da negatif 18 olacak değil mi. Negatif 18 eksi 1 eşittir negatif 19. Evet bunun mutlak değerini alalım 19, 19 oluyor. Burada ise x yerine 5 koyuyoruz evet 4 kere 5 20. 20 eksi 1 evet pozitif 19. Mutlak değerini aldık. Yine 19. Şimdi de bunlardan birinin grafiğini çizelim evet eğlencesine. Diyelim ki elimde y'nin x artı 3'ün mutlak değerine eşit olduğu bir denklem var. Yani bu içinde mutlak değer olan bir grafik ya da fonksiyon. Şimdi, iki durum olduğunu düşünelim. Bir durumda mutlak değer işaretinin içindeki değer pozitif olacak. Bu durumda ise x artı 3 evet bu tarafa yazalım evet x artı 3 0'dan büyük olacak. Ve bir de x artı 3'ün 0'dan küçük olduğu bir durum var değil mi. x artı 3 0'dan büyük olduğunda bu grafik ya da bu çizgi yok çizgi değil fonksiyon y eşittir x artı 3 ile aynı şey. Eğer buradaki şey buradaki ifade 0'dan büyükse o zaman mutlak değer işareti anlamsız. O zaman da bu y eşittir x artı 3 ile aynı şey. Ama peki ne zaman x artı 3, 0'dan büyük? Eşitsizliğin iki tarafından da 3 çıkarırsak cevap x büyüktür negatif 3 çıkar. Yani x negatif 3'ten büyük olduğunda bu grafik y eşittir x artı 3 gibi görünecek. Şimdi, x artı 3, 0'dan küçük olunca. Böyle bir durumda yani mutlak değer işaretinin içindeki değer negatif olduğunda bu grafiğin denklemi y, x artı 3'ün negatifine eşit olacak. Bunu nasıl bulabiliriz? Bakın eğer bu değer x artı 3 negatif bir sayı olacaksa ki bizim de şu an tahminimiz bu o zaman biz negatif bir sayının mutlak değerini aldığımızda onu pozitif yapmış olacağız. Negatif 1'le çarpmak gibi. Eğer negatif bir sayının mutlak değerini aldığınızı biliyorsanız bu o sayıyı negatif 1'le çarpmak gibidir çünkü o negatif değeri pozitif yapacaksınız. Ve durum böyle olacak x artı 3 küçüktür 0 Eğer iki taraftan da 3 çıkarırsak x küçüktür negatif 3 olur değil mi. Yani x negatif 3'ten küçük olduğunda grafik böyle gözükecek. Ve x negatif 3'ten büyük olduğunda da grafiğimiz böyle gözükecek evet. Şimdi bu denklemlerin bütün grafiği nasıl göstereceğine bakalım evet. Eksenleri çizeyim. Bu x ekseni, bu da y ekseni. Şimdi, bunu çarpalım ki denklem y eşittir mx artı b formunda olsun. Evet yani bu, negatif x eksi 3'e eşit. Şimdi grafik genel olarak nasıl görünecek bir bakalım. Negatif x eksi 3. y kesişimi negatif 3 yani işaretleyelim 1, 2, 3 evet. Ve negatif x grafiğin eğimi aşağıya doğru demek yani 1'in aşağıya doğru eğimi. Yani grafik böyle görünecek. x kesişimi ise evet eğer y 0'a eşit dersek, bu eşitlik x negatif 3 'e eşit olursa sağlanır değil mi. Yani değerlerimiz bu çizgiden geçip tam bu noktada kesişecek. Ve eğer buradaki kısıtlama olmasaydı grafik buna benzer bir görünüme sahip olacaktı. Bu x ekseninin belli bir aralıkla kısıtlı olmaması halinde grafiğin grafiğin görüneceği Peki bu grafik nasıl görünüyor? Bakalım. y kesişimi pozitif 3'te. İşte böyle. Peki bunun x kesişimi neresi? y 0'a eşitken x eşittir negatif 3. Evet yani bu da aynı noktadan geçiyor ve eğimi 1. Yani çizdiğimizde böyle görünecekmiş. Evet grafik böyle gözüküyor. Şimdi bulduğumuz şey, içinde mutlak değer olan bir fonksiyonda, x negatif 3'ten küçük olduğunda mor grafik ortaya çıkıyor. Yani, x negatif üçten küçük olduğunda bu x eşittir negatif 3 x negatif 3'ten küçük olduğunda buradaki mor grafik gibi görünecek. İşte burada. Bu, x negatif 3'ten küçük olduğundaki durum. ama x negatif 3'ten büyük olduğunda bu, yeşil grafik gibi gözükecek. Bunun gibi görünecek evet. Yani bu grafik, garip bir v gibi gözüküyor değil mi. x negatif'ten büyük olduğunda bu pozitif evet. Yani elimizdeki grafikte bir pozitif eğimli denklem var. Yani x negatif 3'ten küçük olunca kısaca fonksiyonun negatifini alıyoruz ve bu negatif eğimli denklemi bulmuş oluyoruz. Yani elimizdeki bu v şekilli fonksiyon, v şekilli grafik, bu fonksiyonun mutlak değer içerdiğini gösterir.