Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Şimdi içinde mutlak değer olan eşitsizlikleri çözeceğiz. Bu konu cebirin en zor en karmaşık konularından biridir. Ama mutlak değerin anlamını gerçekten anlayabilirsek bu konu o kadar zor gelmeyecek. Başlangıç için kolay bir ısınma problemi çözelim. Bu problemimize göre x in mutlak değeri 12 den düşüktür. Bu arada mutlak değer hakkında ne dediğimi aklınızdan çıkarmayın. Dediğim şey mutlak değerin bir sayının 0 dan ne kadar uzak olduğunu gösterdiğiydi. Buna göre problem bize hangi x değerlerinin 0 a 12 den daha uzak olduğunu soruyor. Hadi bunu çözmek için bir sayı doğrusu çizelim. Eğer 0 buradaysa ve biz de ona 12 den daha yakın tüm sayıları arıyorsak artı 12 ye kadar ve eksi 12 ye kadar gidebiliriz. Bu iki değerin arasındaki tüm sayıların mutlak değeri 12 den daha az olacaktır. Yani hepsinin 0 a uzaklığı 12 den az olacaktır. Şu gösterdiğim kısım da x in değerinin eksi 12 den daha büyük olduğu durumlardır ve bu durumlarda da mutlak değerleri 12 den az olacaktır tabii ki burada da artı 12 den büyük olmayan değerlerden bahsediyoruz. Sonuçta x, bu iki şarta da uyuyorsa onun mutlak değeri 12 den az olacaktır. Eksi 6 nın mutlak değerinin 6 olduğunu, çünkü onun 0 dan sadece 6 uzaklıkta olduğunu biliyorsunuz. Eksi 11 in de mutlak değerinin aynı nedenle 11 olduğunu biliyorsunuz. Dolayısıyla bu x değerinin, bu eşitsizliği karşılaması sağlaması için artı 12 ve eksi 12 arasında olması lazım. Ve aslında biz bu problemi şimdiden çözdük, çünkü çözüm sadece bir adımdan oluşuyordu. Ancak bence sonraki problemler için iyi bir temel hazırladı bu problem. Bu problemin çözümünü aynı zamanda şöyle de yazabilirim. Bu şekilde de bu sayının artı 12 ile eksi 12 arasındaki eksi 12 ile artı 12 hariç Ne demiştik artı 12 ile eksi 12 arasındaki herhangi bir sayı olabileceğini gösterebilirim. Veya x küçüktür 12 ve x büyüktür 12 de yazabilirim. İşte çözüm kümesini bulduk. Haydi şimdi biraz daha zor bir problemi çözmeye çalışalım. Diyelim ki, 7x in mutlak değeri 21 den fazladır. Öncelikle mutlak değerin içindeki değişkeni düşünmeyelim. Sadece bir şeyin mutlak değerinin 21 den fazla olmasının ne anlama geldiğini düşünelim. Bu mutlak değerin içindeki şeyin 0 a 21 den daha uzak olması gerektiği anlamına geliyor. Sayı doğrumuzu bir kere daha çizelim o zaman. Problemleri çözerken bir sayı doğrusunu düşünmelisiniz, bu şekilde asla aklınız karışmaz. Hiçbir kuralı ezberlemenize gerek yok. 0 ımızı şuraya çizelim o zaman. Artı 21 i de şuraya, eksi 21 i de şuraya çizelim tamam. Şimdi 21 den daha büyük olan tüm sayılara bakıyoruz, daha doğrusu 0 a 21 den daha uzak olan tüm sayılara. Yani mutlak değeri 21 den fazla olan tüm sayıları arıyoruz. Yani eksi 21 den daha küçük olan bütün negatif sayıların da mutlak değerini aldığımızda eksilerinden kurtulduklarını, yani 0 a uzaklıklarını bulduğumuzu bildiğimiz için negatif sayıları da unutmuyoruz. Eğer eksi 30 un mutlak değerini alırsanız, bunun 21 den daha fazla olduğunu görürsünüz. Tabii artı 21 den olan tüm sayıların mutlak değerleri de 21 den fazla olacaktır. Sonuç olarak 7x bu iki uçtaki sayılardan birine eşit olmalıdır şuradaki sayılardan birine. Bu durumu yazabiliriz. Peki x in eşit olması ihtimali olan bu sayılar hangileridir? Bu sayılar eksi 21 e eşit veya eksi 21 den küçük olan sayılardır veya aynı zamanda artı 21 e eşit veya artı 21 den büyük olan sayılardır. Burada yaptığım şeyi anlamanızı istiyorum. Eğer mutlak değer 21 e eşit veya büyükse bu, mutlak değerin içindeki şeylerin ya 21 den büyük ya da eşit ya da eksi 21 den küçük veya eşit olması demektir. Çünkü eğer eksi 21 den küçükse bu sayı onun mutlak değeri alındığında 21 den fazla olacaktır çünkü 0 a uzaklığı 21 den fazla olacaktır. Umuyorum ki bunu anlamışsınızdır. Aklınıza iyice oturması için birkaç tane daha problem çözeceğiz. Neyse sonuç olarak problemde bu noktaya gelindikten sonra bu normal bir eşitsizliğe dönüşüyor ve iki tarafı da 7 ye bölebiliyoruz. Elimizde x küçük veya eşittir eksi 3 ve x büyük veya eşittir 3 sonucu kalıyor. Şu durumu açıklamak istiyorum. Bu, çizdiğim şey çözüm kümesi değildi. Bu sadece 7x in neye eşit olması gerektiğiydi. Burada sadece bir denklemin mutlak değerinin 21 den fazla olmasının nasıl bir şey olduğunu göstermek istedim. Şimdi yaptığım şey çözüm kümesi. x eksi 3ten küçük veya eşit ya da artı 3ten büyük veya eşit olmalıdır. Durun bu çözümü bir sayı doğrusuna çizeyim. Bunun 0, bunun 3 bunun da -3 olduğunu varsayalım. x ya 3 ten büyük ya da 3 e eşit olmalıdır. Bu işaret eşit olduğunu gösterir. Veya eksi 3 ten küçük yada eksi 3 e eşit olmalıdır. Ve bu problemi de bitirdik. Bu problemlerden birkaç tane daha yapalım o zaman. Çünkü bence bu problemler baya kafa karıştırıcı ama eğer mutlak değerin anlamını özümserseniz oldukça kolaylaşıyorlar. Şimdi bir mutlak değerim olduğunu varsayalım, durun güzel bir tane bulayım. 5 5x artı 3 ün mutlak değerinin 7 den küçük olduğunu varsayalım. Bu bize mutlak değerimiz içindeki şeyin 0'a, 7'den daha yakın olduğunu söylüyor. Bu değerin 0 a 7 den daha yakın olmasının iki yolu var biri bu değerin 7 den küçük olması diğeri ise bunun eksi 7 den büyük olması. Bunu bir sayı doğrusunda göstereyim. Şu aralıkta olması lazım yani şimdi göreceksiniz. Bu duruma uygun olması için, yani mutlak değerinin 7 den küçük olması için, 5x artı 3 ün eksi 7 den büyük, 7 den de artı 7 dende küçük olması gerekiyor. Eğer 5x artı 3 buralarda bir değere denk geliyorsa onun mutlak değeri veya 0 a olan uzaklığı 7 den az olacaktır. Ve sonra da bu soruyu çözebiliriz. Evet iki taraftan da 3 çıkarırız. Buna göre 5x eksi 10 dan büyüktür. İki tarafı da 5 e bölersek x in eksi 2 den büyük olduğunu görüceksiniz. Bu tarafta da, iki taraftan 3 çıkaralım. Bu durumda da 5x 4 den küçüktür. İki tarafı da 5 e bölünce x in 4 bölü 5 den küçük olduğunu görüyoruz. Buradan da çözüm kümesini çizebiliriz. -2 den büyük büyük veya eşit değil büyük ve 4 bölü 5 den küçüktür x. Bu çözüm bi sıralı ikili gibi görünebilir ama aslında aralıklarını gösteriyor ve anlatmaya çalıştığımız şey sadece x in eksi 2 ile 4 bölü 5 arasında olduğu. Veya bunu şu şekilde de yazabiliriz. Bunlar bu eşitsizliği karşılayan x değerleridir. Buradaki şekli gerçekten kafanıza yerleştirmenizi istiyorum. Burada bir kural görüyor olabilirsiniz ama ben sizin bunu ezberlemenizi istemiyorum ama yine de size bu kuralı söyleyeceğim. Eğer elinizde f(x) in mutlak değerinin a sayısından daha az olduğu bir durum varsa, bu ne anlama gelir? Bir f(x) değerinin a dan daha az olduğu bir durumla karşı karşıyayız. Bu f(x) in mutlak değerinin a dan az veya f(x) in 0'a a'dan yakın olması lazım demektir. Bu f(x) in artı a dan az ve eksi a dan çok olduğu anlamına gelir. Bu da şu anlama gelir, aynı mantığa dayalı. Bu sıfıra a dan daha yakın olan bir şeye karşılık gelir. Eğer diğer tarafa gidersek, yani elimizde f(x) a dan büyüktür varsa, bu elimizdeki şeyin 0'a a'dan uzak olduğunu gösterir. Bu da f(x) in, ya doğrudan artı a dan büyük olduğunu veya f(x) in eksi a dan daha küçük olduğunu gösterir. Değil mi? Eğer bu eksi a dan küçükse belki o zaman bu değer eksi a eksi 1 veya eksi 5 artı eksi a olabilir. Sonra bu değerin mutlak değeri aldığında a artı 5 olur tabii ki. Yani mutlak değeri a dan büyük olur. İstiyorsanız bunu ezberleyebilirsiniz, ama sizden esas istediğim şu bu sıfıra a dan yakın olmalı bu da sıfıra a dan uzak olmalı diyebilmenizi bekliyorum, bunu istiyorum sadece Son bir problem daha çözelim, çünkü bu iş gerçekten kafa karıştırıcı biliyorum. Ve eğer size yardımı olacaksa yardımcı olacaksa bu videoyu tekrar ve tekrar izlemenizi öneriyorum, çünkü bunu anlamanız çok önemli. Evet bir tane daha soru yapalım bir problem daha çözelim. 2x in mutlak değerinin Bir saniye daha daha zor bir şey olsun. Durun burada başka bir şey yapalım başka bir daha zor bir tane olsun. 2x bölü 7 artı 9 un mutlak değerinin 5 bölü 7 den daha büyük olduğunu varsayalım. Peki. Bu şey 0 a 5 bölü 7 den daha uzak olmalı yani. Bu şey, 2x bölü 7 artı 9 doğrudan 5 bölü 7 dan büyük olabilir ama aynı zamanda eksi 5 bölü 7 den küçük de olabilir, çünkü bu durumda da mutlak değeri 5 bölü 7 den büyük olucak. Peki problemimizi çözüyoruz. Şimdi bu iki eşitsizliği de çözmeliyiz. Her şeyi 7 ile çarparsak, bu paydalardan kurtuluruz. Bu durumda 2x artı 63 büyüktür 5 olur ilk denklemimiz bu. Bu tarafta da bu işlemi yapalım. Burada da 2x artı 63 eksi 5 den küçüktür diye bulduk. Pekala. Bu denklemin iki tarafından da 63 çıkaralım ve bu durumda 2x eksi 58 den büyüktür denklemini elde ederiz. Evet ilk denklem bu. İkinci denklemimizde de aynı işlemi yaptığımızda 2x eksi 68 den küçüktür denklemini elde ediyoruz pekala. Sonra iki tarafı da 2 ye bölelim. Bu durumda negatif bir sayıyla bölme yapmadığımız için eşitsizliği ters çevirmemize gerek yok sonuçta eksi 58 bölü 2, eksi 29 eder ve burada da eksi 68 bölü 2, eksi 34 pekala. Bu denklemin çözümü bir sayı doğrusunda tam olarak şöyle gözükecektir. Bu benim sayı doğrum. Eksi 29 um var. Bir de eksi 34 üm var. Bu işlemin sonucu da x, ya eksi 29 dan büyüktür, yada x eksi 34 ten küçüktür olacaktır. Yeni bu iki aralıkta olan herhangi bir değer bu eşitsizliği doğru kılar.