Asal Çarpanlara Ayırma

Haydi 75 sayısını asal çarpanlarına ayıralım ve sonucu üslü sayılar cinsinden yazalım. Burada bir ilginç aslında birkaç ilginç nokta var: Asal çarpanlara ayırma, ve burada üslü sayılar cinsinden yazımdan bahsediyor. Üslü sayılar cinsinden yazımla birazdan ilgileniriz. Öyleyse esas üstüne kafa yoracağımız ilk soru şu : Asal sayı nedir? Küçük bir hatırlatma; asal sayıların yalnızca iki bölenleri vardır: İki tane böleni vardır. Kendisi vardır bir de 1 vardır. Yani bir kendisine bölünebilir, bir de 1 'e bölünebilir. Şimdi mesela asal sayılara birkaç örnek verelim. Asal, ve asal olmayanlara. 2 mesela bir asal sayıdır. Çünkü sadece 1'e ve 2'ye yani 2'ye dediğimiz kendisine bölünebilir. Aynı şekilde 3 de yine bir asal sayıdır. Ama 4, asal sayı değildir. Çünkü bu sayı 1'e bölünür, kendisine bölünür ama birde 2'ye bölünür. Pekala, devam edelim. 5. 5 sadece 1'e ve kendisine bölünür, asaldır. 6 asal sayı değildir, çünkü 2'ye ve 3'e bölünebilir. Evet, sanırım mantığını anladınız, değil mi? 7ye gelirsek, 7 asal sayıdır. Sadece 1'e ve 7'ye bölünebilir. 8 asal sayı tabi ki değildir. 2'ye bölünür, 4'e bölünür. 9'a gelirsek, belki ilk bakışta asal sayı olduğunu düşünmüş olabilirsiniz ama unutmayın 9, 3'e de bölünebilir yani asal sayı değildir. Asal sayılarla tek sayılar aynı şey değillerdir. Karıştırmayın sakın. 10'a gelirsek, 10 da asal değildir. Çünkü 2'ye ve 5'e bölünebilir. 11 sadece 1'e ve 11'e yani kendisine bölünebilir. Öyleyse 11 asal sayıdır. Falan filan işte bu şekilde devam eder. Şimdi neyse, asal sayının ne olduğunu anladık. Asal çarpanlara ayırmayı ise, bir sayıyı, mesela 75'i asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaktır. Haydi bunu yapmayı deneyelim. Yapmadan tam olarak anlamayacağız. Burada, asal çarpanlara ayırma işlemini "çarpan ağacı", "çarpan ağacı" adı verilen yöntemle yapacağız. Şimdi, burada ilk yapacağımız şu: 75'i bölen en küçük asal sayıyı bulmak. En küçük asal sayıyı. Düşünelim ki en küçük asal sayı 2'dir. Peki 2, 75'i böler mi? 75 bir tek sayı, çünkü birler basamağında 5 var. 5 tek bir sayı 5, 2'ye bölünmediğinden; 2, 75'i bölemez. Peki 3'ü deneyelim. 3, 75'i böler mi? 7 artı 5 eşittir 12. 12 3'e bölünür; öyleyse 75, 3'e bölünür. Anladık ki 75 eşittir 3 çarpı başka bir sayı. Bozuk paraları düşünelim; 3 çeyrek lira, 3 çeyrek. 3 çeyrek lira dediğimiz 25 kuruşluktan bahsedeceğiz, değil mi? 25 kuruşluklardan bahsediyoruz. 3 tane 25 kuruşluk ne eder? 75 kuruş eder. Başka bir deyişle 3 çarpı 25 eşittir 75. Öyleyse 75 eşittir 3 çarpı 25. Evet, bana inanmıyorsanız hemen 25 kuruşluklarınızı toplayın yanyana 3 tanesi bakalım kaç kuruş ediyormuş, bakkal amcaya sorabilirsiniz. Neyse konuyu dağıtmayalım. Şimdi 25 peki 3 çarpı 25 eşittir 75 dedik. Şimdi 25 neye bölünür. 2'yi unutun. 2, 75'i bölemiyor ise 25'i de bölemez demektir, değil mi? Ama belki 3, 25'i böler. yoksa bölmez mi? 2 artı 5 basamakları topluyoruz 7. 7, 3'e bölünür mü? Bölünmez. Öyleyse 25'de 3' bölünmez. Devam edelim, sırada 5 var. 5, 25'i böler mi? Tabii ki böler. 5 çarpı 5, 5 karesi 25'dir. Yani 25 eşittir 5 çarpı 5. Ve böylelikle asal çarpanlara ayırma işlemini tamamladık. Çünkü elde ettiğimiz bütün çarpanlar asal. Yani daha başka bir sayıya bölünemez bu sayılar. Öyleyse 75 eşittir 3 çarpı 5 çarpı 5. Başka bir deyişle 3 çarpı 25, 25'de zaten 5 çarpı 5'idi. Ve buda eşittir 75. İşte bu, asal çarpanlara ayırma. Fakat soruda; bu ifadeyi üslü sayılar cinsinden yazmamız isteniyor. Burada o zaman yapmamız gereken; tekrarlayan sayıları tekrarlayan asal çarpanları, üslü sayılar cinsinden yazmak. Peki 5 çarpı 5 nedir? 5'in kendisiyle çarpılmasıdır. Yani 5 üzeri 2'dir. Eğer cevabımızı üslü sayılar cinsinden yazacaksak, diyebiliriz ki 75 eşittir 3 çarpı 5 üzeri 2; yani, 3 çarpı 5 çarpı 5.