Doğru Orantı Modelleri

Doğrunun eğimiyle ilgili birkaç problem çözelim. Bunlara doğru orantı modelleri dendiğini de görebilirsiniz biz de problemde verilenleri grafik yani model üzerinde göstereceğiz. İlk önce çizeceğiz ve umarım bu çizeceğimiz doğru sorunun cevabını bize verecek. Şimdi de sorunun ne sorduğuna bakalım. Elimizdeki duş ahizesi dakikada 2.5 litre su akıtıyormuş. Sadece bu musluğu bu ahizeyi kullanarak 30 litrelik bir küveti 30 litrelik bir küveti ne kadar sürede doldurabileceğinizi hesaplayınız. Burada ilk yapacağımız şey, doğrudan değişim modelini düzenlemek. Kaç litre suyla dolduracağımız veya belli bir süreden sonra kaç litre su kullanmamız gerektiğini bir denklem halinde yazalım. Diyelim ki, litre eşittir dakikada dolan suyun oranına eşit. Yani, dakikada 2.5 litre çarpı dakika miktarı. Dakika için d yazacağım, litre için de l yazacağız tamam. Doğru orantı modelimizi oluşturuyoruz. Şimdi bir denklemimiz var, dakikanın miktarını yazdık ve bunu 2.5 ile çarptık. Çünkü bu oluşturduğumuz denklem küveti en hızlı nasıl doldurabileceğimizi gösteriyor. Bir dakika sonra, 1 çarpı 2.5 2.5 litre suyumuz oldu. İki dakika sonra, 2 çarpı 2.5 eşittir 5 litre su doldu. Bu bizim çözümü bulmak için oluşturduğumuz model. Ve bu da bizim doğrumuz. Doğrunun formunu hatırlayalım şimdi y eşittir mx artı b demiştik. Ama burada b yerine yazacağımız bir sayı yok. Yani b yok. Sadece m çarpı x yazacağız. Buradaki x'e dakika diyoruz ve y'de litre oluyor. Bu durumda eğimimiz 2.5 oluyor. Sorunun cevabını vermeden önce bunları yerlerine yerleştirelim. x-ekseni demek dışında -x'i hatırlayalım, x bağımsız değişkendi- x'e , musluğun açık olduğu dakikayı yazıyoruz. Buraya d-ekseni diyoruz dakika için d'yi kullanıyoruz Dikey eksene de, y-ekseni demek yerine bu sefer l, l-ekseni diyeceğim. Lülebugazın l'si evet. Çünkü litre miktarı için l harfini kullanıyoruz. Bu grafikte sadece pozitif tarafları sayacağız çünkü pozitif miktarda dakika olabilir değil mi. Geriye doğru gidemeyiz. Evet, şimdi ne yapıyoruz? Eğimimiz 2.5. Tüm litreyi tekrar yazmak gerekirse, eşittir -bildiğiniz gibi 2.5 sayısını 5 bölü 2 şeklinde de yazabiliriz- dakikada 5 bölü 2 litre çarpı dakika miktarı. Evet o zaman litre eşittir 5 bölü 2 litre çarpı dakika. Eğimimizin 5 bölü 2 olduğunu biliyoruz. 2.5 sayısını 5 bölü 2 şeklinde yazdık tekrarlıyorum. y-kesişim noktası 0. Yani y-kesişim noktamız yok. Ama artı 0 da yazabiliriz. Orijinden başlayarak çizelim. Bu bizim y-kesişim noktamız. Her sağa doğru 2 birimde, 5 birim yukarı çıkıyoruz. Yani x eksenindeki değişim 2. 1, 2, 3, 4, 5. x eksenindeki değişim 2 birim. 1, 2, 3, 4, 5. Evet. Eğer x ekseninde eksi 2 birim değişim olursa, y ekseninde de eksi 5 olacak. Eksi 2. 1 2, 3, 4, 5 gibi evet. Diğerleri de bunun gibi. Buraya da inebiliriz. Doğrumuzu çizmek gerekirse, sanırım buna benzeyecek. Çizebileceğimin en iyisini yaptım galiba değil mi. Daha önce de dediğim gibi sadece birinci çeyreği sayacağız. Hatırlayalım ki, bu çeyrekle işimiz olmayacak, burayı silsek de olur. Çünkü negatif miktarda dakika olamaz. Geçmişe doğru gidemeyiz, gidebilirmiyiz? Sadece bu doğrunun yukarı tarafını saymamız gerekiyor. Evet şimdi de 30 litrelik bir küveti kaç dakikada doldurabileceğimizi bulalım. Ama ne yazık ki, bizim çizdiğimiz bu doğru 30'a kadar çıkmıyor. Çünkü burası 10 litreye denk geliyor. Eğer 3 kere bunun kadar yukarı çıkarsak grafiği okuyarak 30 litreye karşılık gelen dakikayı bulabiliriz. Aslında cebirsel olarak çözebiliriz bu problemi. Kaç dakika alıyor Evet, ilk olarak litre miktarını 30'a eşitleyelim. 30 litreye eşitledik 30 yani bu da eşittir,30'da eşittir aynı renkte yazarsam iyi olur 2.5 litre çarpı dakika miktarı. Evet. Şimdi, bu denklemi çözmek için iki tarafı da 2.5 sayısına bölmemiz yeterlidir. İki tarafı da 2.5'a bölelim. Tüm bu size göstermek için kullandığım birimleri şimdi sadeleştirebiliriz. Bunlar da birbirlerini götürdüler. Burası 1 oldu. Sol taraf da sadece d de diyebiliriz eşittir 30 bölü 2.5. Payda toplam litre miktarı yazıyor. Gerçek sayılardan bahsettiğimiz gibi sonlarındaki birimleri de size göstermek istiyorum. Paydaya dakikadaki litreyi yazarsak ve iki tarafı da bu yazdığımız kesre bölersek bunları, bu kesrin tersiyle çarpmakla aynı anlama gelir değil mi. Litre başına düşen dakika miktarıyla çarpmakla aynı işlem. Bunlar kesrin paydasında. Bunları paya koyduğumuz zaman, ters çevirmiş olacağız. Yani paydaki litre ve paydadaki litre. Sadeleşiyorlar. Sadece 30 bölü 2.5 dakika kaldı. Peki 30'u 2.5'a böldüğümüzde ne kalır? 12. 30 litrelik küveti doldurmak için 12 dakika harcamamız gerekiyormuş. Dakikamız burada. 12 dakika. Tamam güzel. Şimdi bir tane daha örnek yapalım. Ayça, Ayça yeni havuzu ilk kez doldurmak için bir su hortum kullanıyor. Yeni havuz yaptırmışlar Ayçalar ne güzel. Hortumu akşam saat 10'da açıyor şimdi bunu yazalım. Akşam 10'da doldurmaya başlıyor bu başlangıç vakti ve havuzun başından ayrılıyor. Hortum tüm gece açık kalıyor. Ortalığı su basmasa bari. Sabah saat 6'da, havuzun derinliğini ve ne kadar su dolduğunu ölçüyor ve sadece 4 bölü 7'sinin dolu olduğunu görüyor. Saat akşam 10'da başladığında, bu başlama vakti ve başladığında tahmin ettiğiniz gibi havuz bomboştu, kupkuruydu. Yüzme havuzu yeni olduğundan doldurmaya başladığında havuzda hiç su yoktu. Bunlar bize verilen bilgiler. Havuz tamamen boştu. Hiç su yok. Sabahın 6'sında, havuzun derinliğini ölçmüştü ve havuzun 4 bölü 7'sinin 4 bölü 7'de 4'ünün dolu olduğunu görmüştü. Peki. Kaç saat sonra havuz tamamen dolmuş olacak? Peki soru bu ne zaman dolacağını öğrenmek istiyoruz. Tamamen dolduğunda saat kaç olacak? 7 bölü 7 olması gerekiyor. Ama saat kaçta? Geçen örnekte de yaptığımız gibi basit bir model hazırlayalım. Diyelim ki, havuzun doluluğu eşittir bir sabit sayı çarpı geçen süre miktarı. Havuz boşken, yani 0'a eşitken saat kaç biliyorum. Bu saatimiz. Buraya yazalım. Bu zaman. Zaman 0'a eşitken. Bu saat ne zamanı gösteriyor peki? 8 saat sonrası, değil mi? Evet, 8 saat sonra. Bunun da ne olduğunu bilmiyoruz. Bu da herhangi bir zaman işte. Saat 10'da 0'a eşitken o çarpı k, doluluğu 0'a eşit olur. Yani tamamen boş. 8'e eşitken olduğunda, k çarpı 8. k eşittir belli bir sürede doldurduğumuz suyun oranı bu arada. k çarpı 8. Eşittir 4 bölü 7 doluluk oranı. Şimdi ise k'nın ne olduğunu bulabiliriz. Doğru orantı modelimiz için sabit değerin ne olduğunu bulalım. İlk önce şuna bakalım. Bu denklem, havuz doldurma işlemleri için kullanılır. Havuzun doluluğunun miktarı suyun aktığı süre ile doğru orantılı. Sabit orantılı olduğumuz bir durum. Ne kadar çabuk dolar bilmiyoruz, ama bunu grafik üzerinde gösterebiliriz. Çünkü biliyoruz ki 8 saatte havuzun 4 bölü 7'si doluyor. k'yı bulmak istiyorsak, iki tarafı da 8 saate bölmeliyiz. k eşittir 4 bölü 7 bölü 8 saat. Bunu tabi bu şekilde de yazabiliriz. 4 bölü 7 çarpı 1 bölü 8. Evet şimdi hesaplayalım. Payı ve paydayı 4'e bölelim önce. Sadeleştirelim. k sabiti 1 bölü 14 çıktı. Veya şöyle de diyebiliriz saatte 1 saatte havuzun 1 bölü 14'ü doluyor. 14'de 1'i doluyormuş 1 saatte. Demek ki k eşittir 1 bölü 14. Güzel. Denklemimiz burada şuraya yazayım. Havuzun dolma oranı eşittir 1 bölü 14 çarpı süre. Cevaplamamız gereken soru ise bunun ne zaman 1 olacağı? Saat kaçta tamamen dolacak? Denklemi kuralım. 1'i denkleme yerleştirebiliriz. 1, havuzun tamamen dolu olduğu anlamına geliyor. Bu da eşittir 1 bölü 14 çarpı süre. Pekala bu denklemin iki tarafını da 14 ile çarpalım bakalım ne oluyor. 1 bölü 14 ile 14 sadeleşir. Sonuç olarak t eşittir 14. Demek ki havuzun tamamı 14 saatte doluyormuş. Bu arada saat hakkında söylediklerimi hatırlayın. Eğer akşam saat 10'da başladıysak bu saatte dolma miktarı 0'dı 14 saat sonra saat kaç olacak? Bir günde akşam 10'dan sabah 10'a toplamda 12 saat var değil mi. Şimdi hesaplamaya devam edelim. 14 saate ulaşmamız için 2 saat daha ilerletmemiz gerekiyor. Bir sonraki günün öğle saatlerine denk geliyor değil mi bu da. Yani havuzun dolması için öğlene kadar suyu açmamız gerekiyor. Bunu çizerek de anlatabiliriz. Evet buraya çizelim. Söylediğim her şeyi şimdi çizelim. Buraya yazdığım denklem, dolma oranı eşittir 1 bölü 14 çarpı t. Grafiğin küçük gelmemesi için her bir birimi ikişer ikişer sayalım. 2, 4 6, 8 10, 12, 14. Evet güzel Şunu söyleyebiliriz ki, x ekseninde 14 birim ilerlediğimizde 1 birim yükseliyoruz. Eğer x'deki değişim 14 ise y'deki değişim de 1'dir. Burada birer birer yazacağım. 1 ve 2. Evet grafiğimiz çok güzel olmadı ama neyse evet. Grafiği olması gerekenden biraz saptırdık ama burası burası 1 evet. Yani doğruyu çizmek gerekirse bunun gibi bir şey olacak. Aynı böyle. Eğimi 1 bölü 14.