EBOB ve EKOK ile İlgili Sözel Sorular

Ekok ve Ebob en küçük ortak kat ve en büyük ortak bölen sözlü problemleri Muharrem ve Lamia aynı okulun öğrencisidir. Ancak fizik dersinde farklı sınıflardadır. Lamia'nın öğretmeni her sınavda 30 soru sormakta, Muharrem'in öğretmeni ise daha sık sınav yapmakta ve her sınavda 24 soru sormaktadır Lamia'nın öğretmeni ayrıca her yıl 3 proje ödevi vermektedir. Öğretmenlere, farklı sayıda sınav yapabilecekleri, ancak yıl boyunca her iki sınıfa sorulan toplam soru sayısının aynı olması gerektiği belirtilmiştir. Muharrem'in veya Lamia'nın sınıfına, bir öğrenim yılı boyunca toplamda en az kaç tane soru sorulabilir? Burada neler olduğunu düşünelim. Lamia'nın öğretmeni her sınavda 30 tane soru soruyor. İlk testte 30 soru, ikinci testte 60 soru, üçüncü testte 90 soru, dördüncü testte 120 soru, beşinci testte toplam 150 soru çözmüş olacak. Bu diziyi 30'un katlarıyla devam ettirebiliriz. Önce bu sayıların katlarına bakıyoruz, daha sonra en küçük ortak katı bulacağız. Lamia'nın çözdüğü soruları şema üzerinde işaretledik. Şimdi Muharrem'in durumuna bakalım. Muharrem'in sınıfına her sınavda 24 tane soru soruluyor. Dolayısıyla; birinci sınav sonunda 24, ikinci sınav sonunda toplam 48 soru, üçüncü sınav sonunda toplam 72 soru, dördüncü sınav sonunda toplam 96 soru, - burada 24'ün katlarını yazmaya devam ediyorum - beşinci sınavın sonunda toplam 120 tane soru cevaplamış olacak. Eğer altıncı bir sınav olsaydı toplam 144 tane soru cevaplamış olacaktı ki; bu diziyi istediğimiz kadar devam ettirebiliriz. Bize sorulan soru neydi hatırlayalım. "Muharrem'in veya Lamia'nın sınıfına, bir öğrenim yılı boyunca toplamda en az kaç tane soru sorulabilir?" İki sınıfın sınavda cevapladığı soru sayısı farklı. En az kaç tane sınavda aynı toplam soru adedine ulaştıklarını bulacağız. Şemaya baktığımızda bunun 120 soruda gerçekleştiğini görüyoruz. Lamia'nın öğretmeni her sınavda 30 soru sorsa ve Muharrem'in öğretmeni her soruda 24 soru sorsa da her iki fizik sınıfı da toplamda 120 soru çözüyor. Cevap 120. İki sınıfın farklı sayıda sınava girdiğine dikkat edin. Lamia, 1, 2, 3, 4 tane sınava girdi. Muharrem ise beş tane sınava girdi. Ancak her iki sınıfa toplamda aynı sayıda soru yöneltildi. Daha önce en küçük ortak kat konusunu işlemiştik. Bu soruda aslında bize EKOK(30, 24) soruluyor. Bu sayıların en küçük ortak katı ise 120. En küçük ortak katı bulmanın, buradaki gibi şema üzerinde katlarını yazmaktan başka yöntemleri de var. En küçük ortak katı bulmak için, asal çarpanlara ayırma yöntemini de kullanabiliriz. Önce 30 sayısının asal çarpanlarını bulalım. 30 eşittir 2 çarpı 15. 15'i de 3 çarpı 5 olarak yazabiliriz. 30 eşittir 2 çarpı 3 çarpı 5 olarak yazabiliriz. 24'ün asal çarpanlarına bakalım. 24'ü 2 çarpı 12 olarak yazabiliriz. 12'yi 2 çarpı 6 olarak, ve 6'yı da 2 çarpı 3 olarak yazalım. Yani 24 sayısını, 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 3 olarak yazabiliriz. Bulacağımız en küçük ortak kat, hem 30 ve hem de 24 ile bölünebiliyor olmalı. Bu sayının 30 ile bölünebilmesi için, buradaki asal çarpanlara sahip olması gerekir. Bunları yazalım. EKOK(30, 24) eşittir 2 çarpı 3 çarpı 5 Bu sayıları çarptığımızda 30'a ulaşıyoruz. EKOK'un 24 ile de bölünebilmesi için, asal çarpanlar arasında üç tane 2 ve bir tane 3 olması gerekiyor. Zaten bir tane 2 ve bir tane 3 var. Dolayısıyla buraya iki tane 2 daha ekliyoruz. Buradaki sayılar da EKOK'un 24 ile bölünmesini sağlıyor. 30 ve 24 sayılarının en küçük ortak katının asal çarpanları bunlar. Bu sayılardan herhangi birisini çıkartırsanız, bulduğumuz sayı 30 veya 24 ile bölünemez olur. Örneğin; eğer buradan 2'yi çıkartırsak, bu sayı 24 ile bölünemez. Eğer 3 veya 5'i çıkartırsanız, bu sayı 30 ile bölünemez. Eğer bu sayıların hepsini çarparsak, 2 çarpı 2 çarpı 2 eşittir 8. 8 çarpı 3 eşittir 24. 24 çarpı 5 eşittir 120. Evet, şimdi başka bir örnek yapalım. Ümmiye içinde 21 dosya bulunan 1 paket dosya ve içinde 30 kalem bulunan 1 paket kalem satın aldı. Sınıf arkadaşları için, kalem ve dosyadan oluşan birbirine eş setler hazırlamak istiyor. Satın aldığı bütün malzemeleri kullanarak hazırlayabileceği en büyük set sayısı nedir? Burada "büyük" kelimesini de işaretleyelim. Büyük dediğine göre muhtemelen en büyük ortak bölenle uğraşacağız. Birbirine eş, setler için en büyük sayı. 21 ve 30 sayılarının en büyük ortak böleni bulalım. Bu sayıların asal çarpanlarını yazarak, hangisinin en büyük olduğunu bulmaya çalışabilirdik. Veya asal çarpanlar yönetimini kullanabiliriz. 21 sayısını, 3 çarpı 7 olarak asal çarpanlarına ayırabiliriz. Bu ikisi de asal sayı. 30 sayısını ise, 2 çarpı 15 olarak yazabiliriz. 15'i de 3 çarpı 5 olarak yazabiliriz. Her iki sayının asal çarpanlarında ortak olan en büyük sayı hangisi? Bu iki sayının asal çarpanlarından sadece 3 ortak. Yani bu 3'e eşit olacak. Bu sayılardan her ikisini de 3'e bölebiliriz. Ve bu bize en fazla kaç tane eş set yapabileceğimizi verecek. Sorunun cevabı 3 dedik ama yine de gözümüzde canlandırabilmek için, bir de çizerek düşünelim. 21 tane dosya vardı. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ve 21 30 tane de kalem var. Kalemleri yeşil renkte çizelim. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Bu iş uzun sürüyor şuradan kopyalayıp yapıştıralım. En iyisi bu. 20 oldu. Şimdi 30 oldu. Bu sayılardan her ikisini, kalansız olarak bölen en büyük sayının 3 olduğunu bulmuştuk. Yani, her iki grubu 3'erli gruplar şeklinde ayırabilirim. Dosyaları 7'lik 3 gruba ayırıyorum. Kalemleri de 10'luk 3 gruba ayırabiliyorum. Satın aldığım malzemenin tamamını kullanarak sınıftan 3 arkadaşıma, 7 dosya ve 10 tane kalemden oluşan set verebilirim. Ümmiye en fazla 3 tane birbirine eş set oluşturabilir. Her sette 7 dosya ve 10 kalem var. Bu sayıların her ikisini de kalansız olarak bölebilen en büyük sayının ne olacağını bulduk.