Köklü İfadelerle Çıkarma İşlemi ve Sadeleştirme

Evet bizden buradaki çılgın ifadeyi çıkarmamız bekleniyor. İlk bakışta göz korkutucu gelebilir ama odaklanacak olursanız, bu işlemi çözmek ve sadeleştirmenin çok da zor olmadığını göreceksiniz. Çünkü daha başlangıcına baktığımızda, 4 çarpı dördüncü dereceden kök 81 x üzeri 5 var ve bundan da iki çarpı dördüncü dereceden kök 81 x üzeri 5 çıkarıyoruz. Yani aslında bir şeyden 4 tane var ve bundan o şeylerin ikisini çıkaracağım, O bir şeyi de sarı çember içine alıyorum. Diyelim ki bu limondan 4 tane var ve bu 4 limondan 2 kimonu çıkarıyorum. Dördüncü dereceden kök 81 x üzeri 5 yine dördüncü dereceden kök 81 x üzeri 5İkisi aynı. 4 tane limonum varsa ve iki limon çıkarırsam, iki limonum kalır değil mi? Bu şeyin 4 tanesinden de iki tanesini çıkaracak olursam, yine o şeyden iki tane kalacaktır. Yani buradaki işlemleri iki çarpı dördüncü dereceden kök 81 x üzeri 5 olarak sadeleştirebiliriz. Bu ikiye de, sadece katsayıları çıkararak ulaştım. Bir şeyin dördünden iki tanesini çıkarırsanız, o şeyden iki tane kalır. Tabii elimizde bir de bu sıradan karekök x küp var. x üzeri 3. Şimdi de kök işaretlerinin içinde kalan kısmı sadeleştirmeye çalışalım. Aslında buradaki örnekte, dördüncü dereceden kökü alabiliriz ve burada da belki pozitif kökünü alırız. Öncelikle, 81'in herhangi bir sayının dördüncü dereceden kökü olup olmadığına bakalım. En azından dördüncü dereceden kökü olan bir sayının çarpanlarına ayırmış oluruz. Asal çarpanlarına ayıracak olursak; 81, 3 kere 27, değil mi? 27 de 3 kere 9 ve 9' da 3 kere 3tür. Yani 81, 3 kere 3 kere 3 kere 3tür. Çok güzel. Bu yüzden 81, 3 üzeri 4tür. Bu da güzel bir şey çünkü onun dördüncü dereceden kökünü alacağız. x üzeri 5i de çarpım olarak yazarsak . Şuraya yazayım da karışmasın. Kök işaretinin altına, 3 üzeri 4 çarpı x üzeri 4 çarpı x yazıyoruz. x üzeri 4 çarpı x, x üzeri 5 eder. Hepsinin dördüncü dereceden kökünü alacağım. Bunların dördüncü dereceden kökünü alacağım zaman, buradakilerin dördüncü dereceden kökünü almakla aynı şeyi yapmış oluyorum. Dördüncü dereceden köklerini alıyoruz. Bir dakika, söylediğimiz sırayla yazalım. Dördüncü dereceden köklerini alacağımızı söyledik. Tabii önünde bir de 2 var. Ayrıca x küpü de "x kare çarpı x" olarak yazabiliriz. Eksi, karekök x üzeri 2 çarpı x. Bunu da bu şekilde ayırdım çünkü çember içindeki pozitif karesi. Peki bunu nasıl biraz daha sadeleştirebiliriz? Muhtemelen bu gördüğünüze artık alışmaya başlamışsınızdır. Burası da, 3 üzeri dördün dördüncü dereceden kökü çarpı, x üzeri dördün dördüncü dereceden kökü çarpı xin dördüncü dereceden kökü ile aynı şey. Şimdi hemen buraya geçelim, bunların dördüncü dereceden kökü. Aslına yazabilirim, siz yapmak zorunda kalmayın. 3 üzeri dördün dördüncü dereceden kökü çarpı x üzeri dördün dördüncü dereceden kökü çarpı xin dördüncü dereceden kökü. Ayrıca iki de hepsinin çarpanı oluyor. Buradaki de eksi x karenin kökü çarpı xin karesi oldu. Daha da sadeleştirirsek, 3 üzeri dördün dördüncü dereceden kökü de 3tür. Yani burası 3 oldu. X üzeri dördün dördüncü dereceden kökü de sadece x olur. -- Burayı da sadece x yaptık. x yapıyoruz. . Ama Sadece x olmaz! Ya x negatif bir sayıysa? Eğer x negatifse, x üzeri 4, pozitif bir değer olur. Dördüncü dereceden kökünü alacak olursanız da, xin pozitif halini elde etmiş oluruz. Yani xin mutlak değerini elde etmiş olursunuz, o yüzden buraya xin mutlak değerini yazacağız. Ayrıca, aslında,kök işareti altındaki değerin pozitif olması gerektiği için buranın reel sayı olarak iyi tanımlanması gerektiğini düşünüyorsanız, xin pozitif bir değer olduğunu da savunabilirsiniz.Ama şimdilik bununla idare edelim. Bir de xin dördüncü dereceden kökü var. Burada da x karenin kökünü görüyoruz. Yine Aynı mantıkla hareket edersek, x karenin kökü de, aynı mantık üzerinden gidersek xin mutlak değeri oluyor. Şimdi hepsini çarpalım. Elimizde iki çarpı 3 çarpı xin mutlak değeri var yani 6 çarpı xin mutlak değeri çarpı xin dördüncü dereceden pozitif kökü eksi xin mutlak değeri ortaya çıktı. çarpı xin tam karekökü. Daha fazla çıkarma yapamayız çünkü bunun dördüncü dereceden kökü, bunun ise tam karekökü olduğunu görüyoruz. Eğer aynı dereceden olsalardı, belki daha sadeleştirebilirdik. Yani kısacası işimiz bitti ve sadeleştirebildiğimiz kadar sadeleştirdik. Eğer bunların reel sayılar için tanımlanmış olduğu varsayımında bulunacak olursanız, kök işaretlerinin 6nda bulunan tanım kümelerinin, her bir durumda pozitif olması gerekir. Pozitif olurlarsa da sanal sayı olmamış olurlar ve hepsi pozitif olduğu için, xin tanım kümesi sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit sayılardan oluşur. Bu yüzden xin mutlak değeri de x ile aynı olur. Ama ben burada bırakacağım. Tanım kümesini daraltırsanız, mutlak değer işaretlerini de atabilirsiniz.