Üçgen Eşitsizliği Teoremi

Bir üçgen çizerek başlayalım.. Bu mavi kenarın uzunluğu 6 olsun şu pembe kenarın uzunluğu 10 ve bu yeşil kenarın uzunluğuna da x diyelim. Şimdi x'in alabileceği değerleri belirleyelim. Yeşil kenar ne kadar küçük, veya ne kadar büyük olabilir? Önce ne kadar küçük olabileceğini bulalım. Eğer x'i küçültmek istiyorsak, şu yeşil açıyı olabildiğince olabildiği kadar küçültmemiz lazım. Uzunluğu 10 olan kenarımızı çizeyim. Ve bu açıyı olabildiğince 0'a yaklaştırarak çizeceğiz. Bu açı 0 olursa, bozuk bir üçgenimiz olur hatta üçgen falan kalmaz ortada tek boyuta iner ve bir doğru haline gelir. 0'a yaklaştıkça, bu kenar, yeşil kenara gittikçe yaklaşır ve sonunda örtüşür. Kenarların örtüşmesi durumunda ise biraz önce dediğim gibi ortada üçgen falan kalmaz. Yani bu noktayı şu noktaya yaklaştırmak , x'in uzunluğunu azaltır. Şimdi bir defa çizmek yerine aşama aşama çizelim. Açı azalıyor, bu mavi kenarın uzunluğu 6. x azalıyor, üçgen bozulana kadar açıyı küçültmeye devam edelim. Pembe kenarını çizeyim.Uzunluğu 10 dedik.. Şimdi açımız 0 olduğuna göre, mavi kenarı şöyle çizelim. Uzunluğu ne idi? 6'ydı. Peki, bu nokta ile şu nokta arasındaki uzaklık nedir? Bu uzaklık, x olacak. Üçgenin bozulması durumunda, x burada olacak. 6 artı x 10'a eşit olacağından, bu bozuk üçgende daha doğrusu olmayan üçgende x'in uzunluğu 4 olur. x eşittir 4'e. Bu noktaları birbirine mümkün olduğunca yaklaştırmış oluyoruz, değil mi? Üçgen bir doğru parçasına dönüşüyor. Bunun üçgen olmasını istersek, x, demek ki 4'ten mutlaka büyük olmalı. Şimdi diğer soruyu düşünelim. x'in en büyük değeri ne olabilir? x'i büyütmek için, bu seferde bu yeşil açıyı büyütmemiz gerekiyor değil mi? O zaman üçgenimizi tekrardan çizelim. Bu, uzunluğu 10 olan kenar. Açıyı büyütmek istediğime göre uzunluğu 6 olan kenarı şöyle çizelim. Açı büyüyüp 180 dereceye yaklaşıyor. 180 dereceye gelirse üçgenimiz yine bir doğru parçasına dönüşecek, yani bozuk bir üçgen olacak. Üçgen falan kalmayacak. Uzunluğu x olan kenarı çizeyim. Şu nokta ile bu nokta arasındaki uzunluğun, en büyük değerini bulmaya çalışıyoruz. Bu, uzunluğu x olan kenar. Şimdi üçgen bozulduğunda ne olacağına bakalım. Bozuk üçgende, yani, açı 180 derece olduğunda, uzunluğu 6 olan kenar, uzunluğu 10 olan kenarla birleşip bir doğru oluşturur. Bu nokta ile şu nokta arasındaki uzaklığın en fazla olduğu durumu çizmiş olduk. Bu durumda bu noktayla şu nokta arasındaki uzaklık ne olacak? Bu uzaklık bizim x değerimiz olacak. Bu durumda x, 6 artı 10 eşittir 16 olacak. yani x ,16 olduğunda üçgen bozuluyor. Üçgenin bozulmasını istemiyorsak, x, 16'dan küçük olmak zorunda. Bu kullandığımız prensibe Üçgen Eşitsizlik Teoremi deniliyor. Bozuk bir üçgen istemiyorsanız, daha doğrusu üçgeninizi kaybetmek istemiyorsanız bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından küçük olmak zorundadır. Eğer bozuk üçgenleri de işin içine katmak istiyorsanız, küçük yada eşit olmak zorundadır da diyebilirsiniz. Küçük eşittir diyebilirsiniz. Ama bozuk üçgenler tek boyutlu bir çizgi haline geldiklerinden, biz bozuk olmayan üçgenlere bakacağız. Yani bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamından küçük olmak zorunda. Bu prensibi kullanarak x'in uzunluğu hakkında yine aynı sonucu elde edebilirdik. x, kenarlardan biri olduğuna göre, diğer kenarlarının toplamından, yani 16'dan küçük olmak zorunda, diyebiliriz. Çizerek bulduğumuz sonucun aynısını bulmuş olduk. x'in ne kadar küçük olabileceğini bulmak için ise, 10 küçüktür 6 artı x diyebiliriz. Yani 10, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından daha küçük olmak zorunda. İki taraftan 6 çıkarırsak, 4 küçüktür x veya x büyüktür 4 olur. Bu aslında basit bir fikir. Ama geometride kesinlikle göreceğiniz bir konu. İleride matematiğin başka alanlarında da bu teoreminin farklı versiyonlarını göreceksiniz.