İspat: Üçgenin İç Açıları Toplamı 180 Derecedir

Buraya rastgele bir üçgen çizdim ve bu üçgenin iç açılarına da x, y ve z dedim. Bir üçgenin iç açılarının toplamının, yani x artı y artı z'nin 180 dereceye eşit olduğunu ispatlamak istiyorum. Bunu yapmak için de paralel çizgiler, kesen doğrular ve karşılık gelen açılara ilişkin bilgilerimizi kullanacağız. Önce üçgenimizin kenarlarını uzatarak başlayalım. Bu kenara kırmızı renkle bir doğru çizelim. Şimdi, bu kırmızı doğruya paralel olacak şekilde, üçgenin buradaki uç noktasından geçen bir çizgi daha çiziyoruz. Bu noktadan başlıyoruz, ve bu doğru ile paralel olarak gidiyoruz. Bu çizgiye yaklaşmadığımız veya uzaklaşmadığımız için, bu doğrular hiçbir zaman kesişmeyecekler. Bu doğru ile bu doğru birbirine paralel. Şimdi diğer kenarları da uzatıp doğru haline getirelim. Bu bir kesen doğru. Bu iki paralel doğruyu kesiyor. İki paralel doğruyu kesen bir doğru olduğuna göre, burada eş açılar oluşuyor olmalı. Buradaki kırmızı doğruyu kestiğinde, burada x açısı oluşuyor. Mavi doğruyu kestiğinde, bu x açısının eşi nerede oluşuyor? Buradaki kesişimin sağ üst tarafındaki açı x ise, buradaki kesişimin sağ üst tarafında oluşan açı da x olmalı. Başka bir şey daha dikkatinizi çekmiş olabilir. Bu ters açılar da birbirine eşitler. Kesişimin tam ters tarafındaki açı eğer burası x ise bu açı da x olmalı. Aynı şeyi üçgenin diğer kenarı için de yapalım. Bu kenarı alalım, uzatarak doğru haline getirelim. Şimdi bu da iki paralel doğruyu kesen bir doğru oldu. Eğer buradaki açı y ise kesen ile aşağıdaki paralel çizginin kesişmesinden doğan bu açının eşi nerede olacak? Bu açı kesişmenin sol tarafında, ve tam olarak yeşil kesenin mavi paralel çizgiyi kestiği yerde oluşan bu açıya denk geliyor. Bu açı kesişmenin sol tarafında, ve tam olarak yeşil kesenin mavi paralel çizgiyi kestiği yerde oluşan bu açıya denk geliyor. Artık kanıtımızı tamamlamaya, bitirmeye yaklaştık. Bu bitişik açılar, x ve z, eğer bu iki açıyı alırsak buradaki geniş açının ölçüsü ne olur? x artı z olur. Ve bu açı, buradaki y dereceli açının bütünleri. Yani buradaki x artı z geniş açısı ve y açısının toplamı 180 derece olmalı. Zira bunlar bütünler açılar. Geniş açının ölçüsü,yani x artı z, y açısı ile bütünler açı. Bunların toplamı 180 derece olmalı. Çünkü bütünler açılar. Ve kanıtımızı tamamladık. Bir üçgenin iç açılarının toplamı, alfabetik sırada yazalım x artı y artı z toplamı 180 derecedir işte bu kadar.