Üçgenin Ağırlık Merkezinin Kenarortayın Üçte İkisine Denk Geldiğinin İspatı

Elimde rastgele çizilmiş olan ABC üçgeni var Bu üçgene üç tane de medyan çizdim. Evet, medyan EB FC ve AD. Üç medyanın kesiştiği noktaya sentroid diyoruz ve bu noktayı G ile gösteriyoruz Bu videoda göstermek istediğim şey ise sentroidin bir medyanın 2 bölü 3'ü olduğunu göstermek Şimdi EB medyanı üzerinden gösterelim EG'nin GB'nin iki katı olduğunu göstermek istiyorum EG eşittir 2 GB. Bu uzaklık ne ise bu onun iki katı EG EB'nin 2 bölü 3'ü. Evet Göstermek için herhangi bir medyanı kullanabilirsiniz. Sentroid her medyanın üzerinde 2 bölü 3 kat uzunluğundadır veya onu iki parçaya böler. Bu parçalardan biri ötekinin 2 katıdır. ABE üçgenine şimdi konsantre olalım. Bunu çizelim. Evet, bunun gibi bir şeye benziyor. G'de sentroidimiz var Burada mor renkli A'ya giden bir çizgimiz var. F'ye giden bir de mavi çizgimiz var,evet. Bu E B ve A olacak. Burası ise F olacak. Hepsinde aynı işaretlerin olduğuna dikkat edin. Kanıtlayacağım şey EG'nin GB'nin iki katı olduğu. Hatırlatmak istiyorum ki medyanlar bir üçgeni 6 eş alanlı üçgene bölerler. Bunun başka şekilde düşünmek isterseniz de bu 3ü bu 6'dan bazıları. Bu 3ünün alanları eşit. AGB üçgenine bakalım. AGB üçgenini EAG üçgeniyle karşılaştıralım. Bu üçgenle şuradaki orijinal çizimdeki üçgeni karşılaştıralım. EG'ye bakarsanız aynı yüksekliğe sahip olduklarını görürsünüz. Ama aynı tabana sahip değiller. Bu küçük üçgenin tabanı GB. Bu büyüğün ise EG. İki şekilde de yükseklikleri burada. Bilmek istediğimiz ise EAG'nin alanının bunun alanının iki katı olup olmadığı. EAG'nin alanı bunun alanının iki katı çünkü EAG'nin içinde bu üçgenlerden iki tane var. Bunu şu şekilde düşünebilirsiniz : AGB'nin alanı X. Bu iki mavi üçgenin alanı da X olur. Veya bu mavi bölgenin alanı 2X de diyebiliriz. 5 çarpı taban çarpı yükselik denkleminin bize alanı verdiğini biliyoruz 5 çarpı EG çarpı h eşittir 2X. Formülü üçgene uyguluyoruz. 5 çarpı taban çarpı yükseklik eşittir alan. Bunu şimdi de turuncu üçgene uygulayalım 5 çarpı GB çarpı sarı uzunluk eşittir X. Eğer bu X'e eşitse bütün bunu X'le değiştirebiliriz, bunu yapalım. 5 çarpı EG çarpı h eşittir 2 çarpı 0. 5 çarpı GB çarpı h. Evet şimdi bunu sadeleştirelim. 2 çarpı 0. 5 eşittir 1. İki tarafı da h'ye böleriz. Şimdi elimizde 0 5 çarpı EG eşittir GB var. Bunu EG bölü 2 eşittir GB diye de yazabiliriz, değil mi? Bu GB EG''nin yarısıdır demekle aynı şey. Eğer EG 2 ise bu 1 olur. Eğer EG 4 ise burası 2 olur. Evet, sonucu kanıtladık. Şimdi kanıtlamaya çalıştığımız şu sonuca dönelim. Bu denklemin iki tarafını da 2'yle sadeleştirelim Sol tarafı 2 ile çarparsanız EG'yi elde edersiniz. Sağ tarafı 2'ile çarparsanız GB'yi elde edersiniz. Bu şekilde EG eşittir 2 GB'yi kanıtladık Bu mantığı sentroidin medyan boyunca 2 bölü 3'e denk geldiğini göstermek için her medyana uygulayabilirsiniz.