İç Teğet Çemberinin Yarıçapı, Çevre ve Alan

Bize ABC üçgeninin çevresi p ve iç teğet çemberinin yarıçapı r olarak verilmiş ve bizden ABC üçgeninin alanını p ve r cinsinden bulmamız isteniyor pekala. Biz biliyoruz ki, çemberin çevresi, üçgenin kenarlarının toplamına eşittir. yani üçgenin çevresini bulduğunuzda çemberin çevresini de bulmuş oluruz. İçteğet çemberin yarıçapının ne olduğunu da bir hatırlayalım önce Eğer üçgenin her bir köşe açısının açı ortayını alırsak yani şuradakini ve şuradakini ve de buradaki açıortayları alırsak bu açı şu açıya eşit olacaktır ve şuradaki de buna eşit olacaktır ve tabiki bu da buna eşit olacaktır, evet. Bütün bu açıortayların kesiştiği nokta bizim içteğet çemberimizin merkezi olacaktır ve bu nokta bütün bu üç taraftan eşit uzaklıktadır. Bu bizim içteğet üçgenimizin yarıçapı oluyor işte evet şimdi bu yarıçapı güzelce bir çizelim ki bundan sonra dik bir çizgi çizmek istediğimizde bunu iç teğet çember yarıçapı çizerek yapabilelim. Yani aslında buradaki uzunluk da İçteğet çember yarıçapıdır şuradaki de yarıçaptır, buradaki de Ve şimdi de bu yarıçapları ve merkez noktayı kullanarak çemberimizi çizebiliriz. Peki, şimdi şuna konsantre olalım: bu çember yarıçaplarını kullanarak buradaki alanı nasıl bulabiliriz? Aslında, bunu üçgenlerin yüksekliği olarak kullanabiliriz. Mesela şurada ki yarıçap buradaki bu iç teğet çember yarıçapı şuradaki A üçgeninin yüksekliği olarak işe yarar değil mi. Merkez noktayı da I olarak isimlendirelim. Merkez noktayada I diyelim İşte AIC üçgeni Bu yarıçap da BIC üçgeninin yüksekliğidir, şuradaki iç teğet çember yarıçapı da AIB üçgeninin yüksekliğini oluşturuyor, evet. Artık, bu üçgenlerin herbirinin alanını, r yani yarıçap ve taban kenar uzunluklarını kullanarak hesaplayabiliriz. Belki de, bütün bu üçgenlerin alanlarını toplarsak üçgenin çevresi ve iç teğet çember yarıçapıımıza ulaşabiliriz. Evet şimdi bu işlemleri yapmaya başlayalım. ABC'nin alanı, burayı renkli çizeceğim AIC'nin alanı ile burayı da renklendirelim, BIC'nin alanına eşit olacaktır, evet. Bunuda farklı bir renkle yapalım maviyi kullanmıştık şimdi portakal yapalım burayı evet, turanj turanj diye bir renk var değil mi turuncu ile portakal rengi neyse saçmalamayı kesiyorum. Yani buradaki şu alan ile BIC'in alanı ve de son olarak AIB'nin alanı Şunu da pembeyle yapalım İşte bu üç üçgenin tümü, büyük üçgenimizin alanını verecek bize. Şimdi bu AIC üçgeninin alanı, tabanın yarısıyla yüksekliğin çarpımına eşittir, değil mi? Diğer bir deyişle, AC'nin uzunluğunun yarısı ile şuradaki yüksekliğin, yani bizim iç teğet çember yarıçapımızın çarpımına eşittir. Bu da AIC'nin alanını verir. Aynı şekilde BIC'in alanı da taban kenarın yarısı ile yüksekliği çarparak yine hesaplayalım. Ve son olarak da AIB'in alanını da bulalım Şimdi 1 bölü 2 r'yi dışarı alalım, böylece 1 bölü 2 r çarpı AC artı BC artı AB ve sanırım bunun sonucunun ne olacağını tahmin ettiniz şimdiden. İşte bu üç kenarın toplamı yanı AC artı BC artı AB bu kenarların toplamı aslında büyük üçgenimizin çevresine, yani p'ye eşit olacak. Evet,neredeyse bitiyor işimiz. ABC üçgeninin alanı, 1 bölü 2 çarpı iç teğet çember yarıçapı çarpı üçgenin çevresi olacaktır. Evet bunu şu şekilde de yazabiliriz. r çarpı p bölü 2 Evet, buradaki çevre bölü 2'ye bazen yarı çevre de denir ve "s" ile belirtilir. Dolayısıyla büyük üçgenimizin alanı, r çarpı s olacaktır. Demek ki, bize iç teğet çember yarıçapı ve üçgenin çevresi verilirse, üçgenin alanını bulabiliriz veya üçgenin alanı ve çevre verilirse, iç teğet çember yarıçapını bulabiliriz. Bu iki değişkenden hangisi verilirse verilsin üçüncüyü kolayca bulabiliriz. Örneğin, şu meşhur üçgen bize verilmiş olsun. Yani "3-4-5" üçgeni. Meşhur. Biliyoruz ki bu bir dik üçgendir; ve bunu pisagor teoremiyle anlayabiliriz zaten. Bu üçgenin iç teğet çember yarıçapıını bilirsek, alanını da kolayca bulabiliriz. Şimdi biliyoruz ki bu bir dik üçgendir. 3'ün karesi artı 4'ün karesi eşittir 5'in karesidir dolayısıyla üçgenin alanı da 3 çarpı 4 çarpı 1 bölü 2, yani 3 kere 4 çarpı 1 bölü 2 ne eder? 6 eder, evet. Üçgenin çevresi de 3 artı 4 artı 5, yani 12 yapar. Alan formülümüzü yazalım şimdi. Yani 12 eşittir 1 bölü 2 çarpı iç teğet çember yarıçapı çarpı çevre. Pardon alan 6 olacaktı yani pardon pardon. Yani 6 eşittir 1 bölü 2 çarpı iç teğet çember yarıçapı çarpı 12 evet. Bu durumda 1 bölü 2 çarpı 12 6 dır. 6 eşittir 1 bölü 2 çarpı iç teğet çember yarıçapı çarpı 12'dır. Yani 1 bölü 2 çarpı 12, 6 yapar. 6 eşittir 6r Pekala. Sadeleştirirsek, r eşittir 1. Güzel. Şimdi basit ve düzgün bir şekilde bu üçgenin iç teğet çember yarıçapıını çizmek istersek önce açıortayları çizeriz, ve bu 3-4-5 dik üçgeninin 1 birimlik iç teğet çember yarıçapı olduğuna göre, buradaki uzaklıklar hep 1 birim olacaktır Ve de bu bizim iç teğet çemberimiz.