Doğrusal ve Üstel Büyümeyi Karşılaştıralım

"Bir buzağı, bir buzağı 40 kilogram doğuyormuş. Doğduğunda 40 kilo oluyormuş ve bu ağırlık her hafta yüzde 5 artıyormuş. Buzağının t hafta sonraki, t hafta sonraki ağırlığı kilogram cinsinden A olsun. A lineer bir fonksiyon mudur, yoksa üstel bir fonksiyon mudur?" A lineer bir fonksiyonsa, ağırlık her hafta aynı miktarda artacak demektir. Yani mesela "Buzağının ağırlığı her hafta 5 kilogram artıyor," denseydi o zaman lineer bir fonksiyondan bahsediyor olurduk. Ama "Her hafta 5 kilogram artıyor," dememişler. "yüzde 5 artıyor," demişler. Yani bir hafta sonra, buzağının ağırlığı, 1,05 çarpı 40 kilogram olacak. İki hafta sonraki ağırlığı, onun da 1,05 katı olacak. Yani bir önceki haftanın yüzde 5 fazlası. Üç hafta sonraki ağırlığı da, ikinci haftadaki ağırlığının 1,05 katı olacak. O zaman bu fonksiyonu 40 çarpı 1,05 üzeri t şeklinde yazabiliriz. Ağırlık her hafta bir önceki haftanın yüzde 5'i kadar artıyor. Artış katsayısı 1,05. Şöyle de düşünebiliriz: Ağırlık her hafta yüzde 105'le çarpılıyor. Artış sabit bir sayıyla değil de, bir katsayıyla ifade edildiği için, bu, üstel bir fonksiyondur. Bakalım şıklardan hangisi bunu anlatıyor. "Bu fonksiyon lineerdir, çünkü" demiş çünküden sonrasını okumaya gerek bile yok çünkü bu fonksiyon lineer değil "Bu fonksiyon üsteldir, çünkü t'nin her 1 artışında, A, 5 kat artmaktadır." Demiş bu da doğru değil her defasında yüzde 5 kat artıyor. 5 kat değil yüzde 5 kat artması demek, her hafta bir önceki haftanın 1,05 katına çıkması demek. 5 katına değil. Evet buna bakalım. "Bu fonksiyon üsteldir bu fonksiyon üsteldir çünkü t'nin her 1 artışında, A 1,05 kat artmaktadır." Evet işte doğru şık bu. Güzel bir tane daha çözelim. "Verilen niceliklerin lineer olarak mı, yoksa üstel olarak mı değiştiğini belirleyiniz." "Sibel, 550 Lira değerinde, nadir bulunan bir madeni paraya sahiptir. Paranın değeri her yıl yüzde 10 artmaktadır." Az önce çözdüğümüz örneğe çok benziyor. Paranın değeri her yıl 1,1'le çarpılıyor. yüzde 10 artış demek, değeri yüzde 110'la veya 1,1'le çarpmak demek. O halde bu kesinlikle üstel bir artış. Madeni paranın değeri her yıl 10 Lira artıyor olsaydı, o zaman artış lineer olurdu. Oysa burada bir yüzdeyle artıyor. Bir sonraki "Amcanız, 50 bin Liraya bir araba satın almıştır. Hayırlı olsun. Arabanın değeri her yıl 5 bin Lira azalıyor." Burada bir katsayısı söz konusu değil. Araba sabit bir miktarda değer kaybediyor. Bir yıl sonra, değeri 45 bin Liraya düşüyor. İki yıl sonra, 40 bin Lira oluyor. O halde bu kesinlikle lineer bir modelle tanımlanabilir. "Arkansas'taki yaban domuzlarının sayısı peki Arkansas, Arkansasdaki yaban domuzlarının sayısı 5 yılda bir 3'e katlanmaktadır." "5 yılda bir 3'e katlanmaktadır," diyor "5 yılda bir 3 artmaktadır," demiyor. Yani sayıyı 5 yılda bir, 3'le çarpıyoruz. O zaman bu da kesinlikle üstel olmak zorunda.15) Son ifade. "Bir restoranda garson olarak çalışıyorsunuz. Çalıştığınız her gün, 50 Lira bahşiş kazanıyorsunuz." Bu direkt lineer zaten. Çalıştığınız her gün, cebinize 50 Lira daha giriyor. Bir günde 50 Lira, iki günde 100 Lira, üçüncü günde 150 Lira filan diye gidiyor. "Her gün bir öncekinin 50 katı bahşiş alıyorsunuz," denmemiş. Keşke Veya aldığınız başişin her gün yüzde 50 arttığı söylenmemiş. Bahşiş sabit bir miktarda artıyor. O halde bu da lineer bir model.