Ana içerik
Cebir
Konu: Cebir > Ünite 15
Ders 5: İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlara Ayıralım- İkinci Dereceden İfadeleri (x+a)(x+b) Olarak Çarpanlarına Ayıralım
- Örnek: İkinci Dereceden İfadeleri (x+a)(x+b) Şeklinde Çarpanlarına Ayırma
- İkinci Dereceden İfadeleri (x+a)(x+b) Şeklinde Çarpanlarına Ayırma Konusunda Örnekler
- Isınma: İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayıralım
- İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlara Ayıralım
- İkinci Dereceden Basit İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası
İkinci Dereceden İfadeleri (x+a)(x+b) Şeklinde Çarpanlarına Ayırma Konusunda Örnekler
Sal Khan'ın, basit ifadeleri çarpanlarına ayırması size yetmedi mi? İşte size birkaç örnek daha! Orijinal video Sal Khan ve CK-12 Foundation tarafından hazırlanmıştır.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.
Video açıklaması
Bu videoda ikinci dereceden denklemleri
çarpanlarına ayırmayı öğreneceğiz. İkinci dereceden denklemlerde, bir bilinmeyenin
karesinin alınmış olması gereklidir.Evet
Bilinmeyenin karesinin alınmış olması Biz tüm örneklerimizde bu bilinmeyeni x olarak
alacağız. Diyelim ki, x kare artı 10x artı 9 Ve bu ifadeyi iki adet iki terimlinin çarpımı olarak
yazmak istiyorum. Peki bunu nasıl yaparız? Şöyle düşünebiliriz: eğer elimizdeki ifade (x artı a) çarpı (x artı b) olsaydı ne olurdu? Bu iki ifadeyi çarptığımızda ne olurdu? Bu konuda zaten deneyimliyiz. Burası x çarpı
x'ten x kare artı x çarpı b,yani bu da bx oluyor. artı a çarpı x, artı a çarpı b yani ab. Ortadaki bu iki sayının da kat sayısı x olduğu için
onları toplayabiliriz. Bunu x kare artı (b artı a) ya da (a artı b) x artı ab Evet bu şekilde de yazabiliriz.Eğer bu ifadenin iki
tane iki terimlinin çarpımı olduğunu düşünürsek, ortadaki x'in kat sayısı ya da birinci dereceden kat sayısı da diyebiliriz a ve b sayılarının toplamı oluyor. Ve sabit terimimiz de a ve b'nin çarpımı olacaktır. Unutmayın, 10x, (a artı b) çarpı x artı ab ifadesine,
9 ise ab'ye denk olacaktır. Peki burada bir eşleşme bulabilir miyiz? a ve b, toplamı 10 olan bir a ve b sayı çifti var mı? Ve a ve b'nin çarpımlarının da 9 olması
gerekiyor.Biraz düşünelim.Evet.. 9'un faktörleri nedir? Ve a ve b hangi sayılara eşit olabilir? Tüm sayıları tam sayı alıyoruz. Normalde sayıları çarpanlarına ayırırken tam
sayılar ile işleme başlarız.Evet, 9'un çarpanları
nedir? 1,3 ve 9 dur. O zaman a ve b, 3 ve 3 ya da 1 ve 9 olabilir. Eğer 3 ve 3 ise, 3+3 10 etmez.Demek ki 3 ve 3
değil Eğer 1 ve 9 ise, 1 çarpı 9, 9 eder, 1 artı 9,10 eder Evet demek ki bunlar doğru imiş. a eşittir 1 ve b eşittir 9 Şimdi bunu (x artı 1) çarpı (x artı 9) olarak
yazabiliriz. Son videolarda öğrendiğimiz gibi bu iki ifadeyi
çarparsanız sonucun x kare artı 10x artı 9 çıktığını
göreceksiniz. İkinci dereceden bir denklemde x kare'nin kat sayısı 1 ise, bu denklemde olduğu gibi, toplamları ortadaki ifadenin katsayısına ve de çarpımları 9'a eşit olan o iki sayıyı bulmanız
gerekiyor. Ve tüm bunların standart formda olması
gerekiyor.Eğer değilse de ifadeyi standart forma
çevirmelisiniz. Birinci dereceden olan ifadenin katsayısı a ve b
saylarının toplamı sabit terim ise a ve b'nin çarpımıdır. Evet,biraz daha örnek yapalım,Alıştırma yaptıkça
daha iyi anlayacağınızı ümit ediyorum.Evet
Diyelim ki ifademiz x kare artı15x artı 50 Ve bunu çarpanlarına ayırmak istiyoruz.Evet aynı
şekilde yapıyoruz.x kare içeren bir terimimiz var. Birinci dereceden bir terimimiz var Bu katsayının iki sayının toplamı olması gerekiyor. Ve bu sabit terimin, o iki sayının çarpımı olması
gerekiyor. Öyle iki sayı bulmamız gerekiyor ki çarptığımızda
50, topladığımızda 15 elde etmeliyiz.Evet güzel En başta zor gelebilir ama alıştırma yaptıkça çok
daha kolaylaşacak merak etmeyin,Evet Peki a ve b sayıları neler olabilir? Evet 50'nin
çarpanlarını düşünelim.1 kere 50 2 kere 25, Bakalım, 4, 50'ye tam bölünmez.Evet
5 kere 10 olabilir.Evet sanırım hepsi bu kadar Tüm bu sayıları tek tek deneyelim ve hangilerinin
toplamı 15 ediyor bulalım. 1 artı 50 15 etmez değil mi? 2 artı 25 de 27 eder o
da 15 etmez.Ama 5 artı10, 15 eder O zaman bu 5 artı 10'a ve bu da 5 çarpı 10'a eşit
olabilir. Eğer bu ifadeyi çarpanlarına ayıracak olsaydık (x artı 5) çarpı(x artı 10) olarak yazabilirdik
evet,Çarpımı yapın şimdi Çarpımı yapıp sonucun gerçekten x kare artı 15x
artı 10 olduğunu görmenizi istiyorum. Hatta beraber yapalım evet, x çarpı x, x kare
güzel.. 10 çarpı x, 10x 5 çarpı x eşittir 5x 5 çarpı 10,ne eder? 50 Dikkat ederseniz 5 kere 10 bize 50'yi verdi. 5x ve 10x'in toplamı da bize ortadaki 15x
sonucunu veriyor. Yani sonuç x kare artı 15x artı 50 Evet şimdi çıtayı biraz daha yükseltelim ve birkaç
negatif işaret ekleyelim.Evet diyelim ki... x kare eksi 11x artı 24 Yine aynı yöntemi kullanıyoruz.Öyle iki sayı
bulmalıyım ki; topladığım zaman sonuç eksi 11
olmalı. yani a artı b, eksi 11' e eşit olmalı ve, a çarpı b de
24 olmalı. Burada üzerinde düşünmeniz gereken bir şey
var.Bu iki sayıyı çarptığım zaman pozitif bir sayı
elde ediyorum.Sonuç 24 oluyor. Bu demek oluyor ki bu sayıların ya ikisi de pozitif
ya da ikisi de negatif. Ancak bu şekilde pozitif bir sayı elde edebilirim. Bu demek oluyor ki bu sayıların ya ikisi de pozitif
ya da ikisi de negatif Çünkü ancak bu şekilde pozitif bir sayı çıkar değil
mi? pozitif bir sayı elde edebilirim Eğer bu iki sayıyı toplarsam negatif bir sayı elde
ederim.Eğer bunlar pozitif sayılar olsaydı negatif
bir sonuç bulamazdık. Yani toplamlarının negatif ve çarpımlarının pozitif
olması bana bu iki sayının negatif olduğunu
gösteriyor.Evet a ve b sayıları negatif olmalılar. Unutmayın, birisi negatif birisi pozitif olamaz
çünkü o zaman çarpım da negatif olurdu. Ama ikisi pozitif de olamaz çünkü topladığımızda
pozitif bir sayı elde ederdik eğer iki sayı da pozitif
olsaydı. Evet şimdi a ve b sayılarının neler olabileceğini
düşünelim.Evet iki negatif sayı 24'ün çarpanlarını düşünelim.Burada negatif
çarpanları da tabiki düşünmeliyiz. Bakalım, 1 kere 24 olur, 2 kere 12 olur, 3 kere 8
ya da 4 çarpı 6 olur değil mi? 4 kere 6 olur Şimdi hangi iki sayıyı çarparsam sonuç 24
olur?Tüm bu sayıların çarpımının 24 olduğunu
biliyoruz. Ama hangi iki çarpanı topladığım zaman 11 elde
ederim?Ve de o iki sayının negatifini alabiliriz. Bu sayılara baktığınızda 3 ve 8 göze çarpıyor
değil mi? 3 kere 8, 24, 3 artı 8, 11 Ama bu pek doğru olmadı.Çünkü elde etmemiz
gereken sayı eksi 11 Ama eksi 3 ve eksi 8 dersek ne olur? eksi 3 çarpı eksi 8, artı 24 eder değil mi? eksi 3 artı eksi 8 ne eder? eksi 11 eder. O zaman eksi 3 ve eksi 8 fevkalade işimizi görür. Eğer çarpanlarına ayırırsak, x kare eksi 11 x artı 24 ifadesini x eksi 3 çarpı x eksi 8 olarak yazabiliriz. Bunun gibi bir örnek daha yapalım evet,Hatta
biraz daha zorlaştıralım.Diyelim ki Diyelim ki, ne diyelim? x kare artı 5x eksi 14 evet, Burada farklı bir durum söz konusu İki sayının
çarpımı negatif yani a çarpı b eşittir, eşit olmalı ki
eksi 14 sonuç negatif Bu durum bana sayılardan birinin pozitif
diğerininse negatif olduğunu gösterir. Ve a ve b'yi topladığımızda sonuç 5 olmalı evet... 14'ün çarpanlarını düşünelim.Ve bu çarpanların
hangi kombinasyonunu topladığımda ya da biri
pozitif biri negatif ise çıkardığımda sonuç 5 olur? Eğer 1 ve 14 çiftini ele alırsak. Evet burada yine
deneme yaparak bulacağım.eksi 1 artı 14 eşitir 13 Tüm kombinasyonları yazalım evet,eksi bir artı 14
eşittir 13 ve 1 artı eksi 14 bu da 13 değil mi? O zaman bunlar olmuyor.Toplamları 5
olmuyor.Peki 2 ve 7? Güzel eksi 2 artı 7 eşitir 5, İşte oldu! Bu uyuyor! 2 artı(eksi 7) deneyebilirdik ama sonuç eksi 5
olurdu. Ama eksi 2 artı 7 uyuyor Ve (eksi2) çarpı 7 eşittir eksi14 Evet demek ki
kesin olarak bulmuşuz.Bunu (x eksi 2) çarpı (x artı 7) olarak yazabiliriz. Evet
( eksi 2) çarpı 7 eşittir14 eksi 2 artı 7 o da 5,evet süper! Bu konuda yeteneğimizi iyice geliştirene kadar
birkaç örnek daha yapalım.Diyelim ki x kare eksi x eksi 56 Demek ki bulacağımız iki sayının çarpımları eksi
56 edecekmiş.Ve farkları da.. Bu iki sayının farkı da bir tanesi pozitif olacağı için
farkı diyoruz, eksi1 olacak.Farkları eksi 1 olmalı Evet sizin aklınıza geldi mi bilmiyorum ama
sayılar benim hemen aklıma geldi. Bunu çarpım
tablosunda öğrenmiştik. 56 eşittir 8 çarpı 7 Başka sayı çiftleri de var tabi 28 çarpı 2 ama 8 ve 7 hemen aklıma geldiler çünkü birbirlerine
çok yakın sayılar. Ve bizim de birbirine yakın sayılara ihtiyacımız var.
Ve bunlardan birisi negatif diğeriyse pozitif olmalı. Toplamlarının negatif olması bana büyük sayının
negatif olduğunu gösteriyor. eksi 8 çarpı 7 eşittir eksi 56 Ve eksi 8 artı 7 eşittir eksi 1 Bu da buradaki katsayımızın ta kendisi.Evet
bunlar O zaman bu denklemi çarpanlarına ayırırsam
nasıl yazardım? Evet (x eksi 8) çarpı (x artı 7)
olarak yazarım.Değil mi? Bu konu genelde insanların cebirde en zorlandığı
konulardan biridir.Tüm çarpanlara bakıp negatif ve
pozitif işaretlerine dikkat etmeli, hangi çarpanlar biri negatif biri pozitif iken
toplamda x teriminin katsayısını veriyor
görebilmelisiniz. Daha çok alıştırma yaptıkça bunun alışkanlık
haline geldiğini göreceksiniz.Evet şimdi çıtayı
biraz yükseltelim. Şu ana kadarki örneklerimizde x kare terimimizin
katsayısı hep artı 1 idi. Peki eksi x kare eksi 5x artı 24 dersek
Bunu nasıl yaparız? En kolay yolu eksi1 çarpanına ayırmak böylece daha önceki örnekler gibi olacak evet bu
da, eksi 1 çarpı (xkare artı 5x eksi 24) ile aynı
oluyor.Öyle değilmi? Eksi 1 çarpanını ayırdık. Eksi 1'i bu ifade ile çarparsanız sonucun bu hale
geldiğini göreceksiniz.Ya da eksi 1 çarpanına ayırıp eksi 1'e bölebilirsiniz. Yine aynı şekilde yapıyoruz.Çarpımı eksi 24 olan
iki sayıya ihtiyacım var. Biri pozitif diğeri negatif olacak. Toplamları ise 5 olmalı Mesela 24 ve 1 Eğer eksi 1 ve 24 olsaydı toplam 23 olurdu.Tam
tersi olsaydı sonuç eksi 23 olurdu.Bu olmaz Peki 2 ve 12? Unutmayın sayılardan birinin bir
tanesinin negatif olması gerekiyor.Eğer 2 negatif ise toplam 10 olur.Eğer 12 negatif ise toplam eksi 10 olur.Yine olmadı. 3 ve 8. Eğer 3 negatif ise toplam 5 olur.O zaman
bu olur! Eğer eksi 3 ve 8'i alırsak demek ki oluyormuş. Çünkü
eksi 3 artı 8 eşittir 5 Eksi 3 çarpı 8 bu da 24 Bu arada dışarıda bir eksi 1 bıraktığımız
unutmayalım.Sonra içini çarpanlarına ayırıyoruz.
Evet eksi 1 çarpı (x eksi 3) çarpı(x artı 8). Eğer isterseniz bu kısmı eksi 1 ile çarpıp 3 eksi x
olarak yazabilirsiniz ama gerek yok tamam Bir tane daha yapalım. Evet ne kadar alıştırma
yaparsak o kadar iyi. Değil mi? eksi x kare, artı 18x eksi 72 evet, Yine eksi1
çarpanını ayırıyorum.Yani bu eksi 1 çarpı (x kare eksi 18x artı 72) oluyor.Evet Çarptığımızda 72 elde edeceğimiz iki sayı
düşünmemiz gerek.O zaman ikisinin de işaretleri
aynı olmalıdır. Yani çarptığım zaman artı 72 elde etmem lazım Topladığımda da eksi 18 çıkması lazım İşaretleri aynı ve toplamları negatif evet o zaman
ikisi de negatif olmalılar. 72'nin tüm çarpanlarını yazabiliriz.Evet İlk olarak 8
çarpı 9 diye düşünebilirsiniz ama 8 kere 9 eksi 8 çarpı eksi 9 ya da (eksi 8) artı (eksi 9)
olmuyor. Evet ... Sonuç 17 oluyor.Yakın bir sonuç (eksi 9) artı (eksi 8) eşittir eksi 17 evet başka
neler var? 6 ve 12 var değil mi? Bu gayet uygun görünüyor.( eksi 6) artı ( eksi 12)
eşittir eksi 18 evet, burada farklı çarpanları
denemeniz gerekiyor. Evet eksi 1 çarpı (x eksi 6) çarpı (x eksi 12) bu
kadar.