İkinci Dereceden İfadeleri (x+a)(x+b) Şeklinde Çarpanlarına Ayırma Konusunda Örnekler

Bu videoda ikinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırmayı öğreneceğiz. İkinci dereceden denklemlerde, bir bilinmeyenin karesinin alınmış olması gereklidir.Evet Bilinmeyenin karesinin alınmış olması Biz tüm örneklerimizde bu bilinmeyeni x olarak alacağız. Diyelim ki, x kare artı 10x artı 9 Ve bu ifadeyi iki adet iki terimlinin çarpımı olarak yazmak istiyorum. Peki bunu nasıl yaparız? Şöyle düşünebiliriz: eğer elimizdeki ifade (x artı a) çarpı (x artı b) olsaydı ne olurdu? Bu iki ifadeyi çarptığımızda ne olurdu? Bu konuda zaten deneyimliyiz. Burası x çarpı x'ten x kare artı x çarpı b,yani bu da bx oluyor. artı a çarpı x, artı a çarpı b yani ab. Ortadaki bu iki sayının da kat sayısı x olduğu için onları toplayabiliriz. Bunu x kare artı (b artı a) ya da (a artı b) x artı ab Evet bu şekilde de yazabiliriz.Eğer bu ifadenin iki tane iki terimlinin çarpımı olduğunu düşünürsek, ortadaki x'in kat sayısı ya da birinci dereceden kat sayısı da diyebiliriz a ve b sayılarının toplamı oluyor. Ve sabit terimimiz de a ve b'nin çarpımı olacaktır. Unutmayın, 10x, (a artı b) çarpı x artı ab ifadesine, 9 ise ab'ye denk olacaktır. Peki burada bir eşleşme bulabilir miyiz? a ve b, toplamı 10 olan bir a ve b sayı çifti var mı? Ve a ve b'nin çarpımlarının da 9 olması gerekiyor.Biraz düşünelim.Evet.. 9'un faktörleri nedir? Ve a ve b hangi sayılara eşit olabilir? Tüm sayıları tam sayı alıyoruz. Normalde sayıları çarpanlarına ayırırken tam sayılar ile işleme başlarız.Evet, 9'un çarpanları nedir? 1,3 ve 9 dur. O zaman a ve b, 3 ve 3 ya da 1 ve 9 olabilir. Eğer 3 ve 3 ise, 3+3 10 etmez.Demek ki 3 ve 3 değil Eğer 1 ve 9 ise, 1 çarpı 9, 9 eder, 1 artı 9,10 eder Evet demek ki bunlar doğru imiş. a eşittir 1 ve b eşittir 9 Şimdi bunu (x artı 1) çarpı (x artı 9) olarak yazabiliriz. Son videolarda öğrendiğimiz gibi bu iki ifadeyi çarparsanız sonucun x kare artı 10x artı 9 çıktığını göreceksiniz. İkinci dereceden bir denklemde x kare'nin kat sayısı 1 ise, bu denklemde olduğu gibi, toplamları ortadaki ifadenin katsayısına ve de çarpımları 9'a eşit olan o iki sayıyı bulmanız gerekiyor. Ve tüm bunların standart formda olması gerekiyor.Eğer değilse de ifadeyi standart forma çevirmelisiniz. Birinci dereceden olan ifadenin katsayısı a ve b saylarının toplamı sabit terim ise a ve b'nin çarpımıdır. Evet,biraz daha örnek yapalım,Alıştırma yaptıkça daha iyi anlayacağınızı ümit ediyorum.Evet Diyelim ki ifademiz x kare artı15x artı 50 Ve bunu çarpanlarına ayırmak istiyoruz.Evet aynı şekilde yapıyoruz.x kare içeren bir terimimiz var. Birinci dereceden bir terimimiz var Bu katsayının iki sayının toplamı olması gerekiyor. Ve bu sabit terimin, o iki sayının çarpımı olması gerekiyor. Öyle iki sayı bulmamız gerekiyor ki çarptığımızda 50, topladığımızda 15 elde etmeliyiz.Evet güzel En başta zor gelebilir ama alıştırma yaptıkça çok daha kolaylaşacak merak etmeyin,Evet Peki a ve b sayıları neler olabilir? Evet 50'nin çarpanlarını düşünelim.1 kere 50 2 kere 25, Bakalım, 4, 50'ye tam bölünmez.Evet 5 kere 10 olabilir.Evet sanırım hepsi bu kadar Tüm bu sayıları tek tek deneyelim ve hangilerinin toplamı 15 ediyor bulalım. 1 artı 50 15 etmez değil mi? 2 artı 25 de 27 eder o da 15 etmez.Ama 5 artı10, 15 eder O zaman bu 5 artı 10'a ve bu da 5 çarpı 10'a eşit olabilir. Eğer bu ifadeyi çarpanlarına ayıracak olsaydık (x artı 5) çarpı(x artı 10) olarak yazabilirdik evet,Çarpımı yapın şimdi Çarpımı yapıp sonucun gerçekten x kare artı 15x artı 10 olduğunu görmenizi istiyorum. Hatta beraber yapalım evet, x çarpı x, x kare güzel.. 10 çarpı x, 10x 5 çarpı x eşittir 5x 5 çarpı 10,ne eder? 50 Dikkat ederseniz 5 kere 10 bize 50'yi verdi. 5x ve 10x'in toplamı da bize ortadaki 15x sonucunu veriyor. Yani sonuç x kare artı 15x artı 50 Evet şimdi çıtayı biraz daha yükseltelim ve birkaç negatif işaret ekleyelim.Evet diyelim ki... x kare eksi 11x artı 24 Yine aynı yöntemi kullanıyoruz.Öyle iki sayı bulmalıyım ki; topladığım zaman sonuç eksi 11 olmalı. yani a artı b, eksi 11' e eşit olmalı ve, a çarpı b de 24 olmalı. Burada üzerinde düşünmeniz gereken bir şey var.Bu iki sayıyı çarptığım zaman pozitif bir sayı elde ediyorum.Sonuç 24 oluyor. Bu demek oluyor ki bu sayıların ya ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif. Ancak bu şekilde pozitif bir sayı elde edebilirim. Bu demek oluyor ki bu sayıların ya ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif Çünkü ancak bu şekilde pozitif bir sayı çıkar değil mi? pozitif bir sayı elde edebilirim Eğer bu iki sayıyı toplarsam negatif bir sayı elde ederim.Eğer bunlar pozitif sayılar olsaydı negatif bir sonuç bulamazdık. Yani toplamlarının negatif ve çarpımlarının pozitif olması bana bu iki sayının negatif olduğunu gösteriyor.Evet a ve b sayıları negatif olmalılar. Unutmayın, birisi negatif birisi pozitif olamaz çünkü o zaman çarpım da negatif olurdu. Ama ikisi pozitif de olamaz çünkü topladığımızda pozitif bir sayı elde ederdik eğer iki sayı da pozitif olsaydı. Evet şimdi a ve b sayılarının neler olabileceğini düşünelim.Evet iki negatif sayı 24'ün çarpanlarını düşünelim.Burada negatif çarpanları da tabiki düşünmeliyiz. Bakalım, 1 kere 24 olur, 2 kere 12 olur, 3 kere 8 ya da 4 çarpı 6 olur değil mi? 4 kere 6 olur Şimdi hangi iki sayıyı çarparsam sonuç 24 olur?Tüm bu sayıların çarpımının 24 olduğunu biliyoruz. Ama hangi iki çarpanı topladığım zaman 11 elde ederim?Ve de o iki sayının negatifini alabiliriz. Bu sayılara baktığınızda 3 ve 8 göze çarpıyor değil mi? 3 kere 8, 24, 3 artı 8, 11 Ama bu pek doğru olmadı.Çünkü elde etmemiz gereken sayı eksi 11 Ama eksi 3 ve eksi 8 dersek ne olur? eksi 3 çarpı eksi 8, artı 24 eder değil mi? eksi 3 artı eksi 8 ne eder? eksi 11 eder. O zaman eksi 3 ve eksi 8 fevkalade işimizi görür. Eğer çarpanlarına ayırırsak, x kare eksi 11 x artı 24 ifadesini x eksi 3 çarpı x eksi 8 olarak yazabiliriz. Bunun gibi bir örnek daha yapalım evet,Hatta biraz daha zorlaştıralım.Diyelim ki Diyelim ki, ne diyelim? x kare artı 5x eksi 14 evet, Burada farklı bir durum söz konusu İki sayının çarpımı negatif yani a çarpı b eşittir, eşit olmalı ki eksi 14 sonuç negatif Bu durum bana sayılardan birinin pozitif diğerininse negatif olduğunu gösterir. Ve a ve b'yi topladığımızda sonuç 5 olmalı evet... 14'ün çarpanlarını düşünelim.Ve bu çarpanların hangi kombinasyonunu topladığımda ya da biri pozitif biri negatif ise çıkardığımda sonuç 5 olur? Eğer 1 ve 14 çiftini ele alırsak. Evet burada yine deneme yaparak bulacağım.eksi 1 artı 14 eşitir 13 Tüm kombinasyonları yazalım evet,eksi bir artı 14 eşittir 13 ve 1 artı eksi 14 bu da 13 değil mi? O zaman bunlar olmuyor.Toplamları 5 olmuyor.Peki 2 ve 7? Güzel eksi 2 artı 7 eşitir 5, İşte oldu! Bu uyuyor! 2 artı(eksi 7) deneyebilirdik ama sonuç eksi 5 olurdu. Ama eksi 2 artı 7 uyuyor Ve (eksi2) çarpı 7 eşittir eksi14 Evet demek ki kesin olarak bulmuşuz.Bunu (x eksi 2) çarpı (x artı 7) olarak yazabiliriz. Evet ( eksi 2) çarpı 7 eşittir14 eksi 2 artı 7 o da 5,evet süper! Bu konuda yeteneğimizi iyice geliştirene kadar birkaç örnek daha yapalım.Diyelim ki x kare eksi x eksi 56 Demek ki bulacağımız iki sayının çarpımları eksi 56 edecekmiş.Ve farkları da.. Bu iki sayının farkı da bir tanesi pozitif olacağı için farkı diyoruz, eksi1 olacak.Farkları eksi 1 olmalı Evet sizin aklınıza geldi mi bilmiyorum ama sayılar benim hemen aklıma geldi. Bunu çarpım tablosunda öğrenmiştik. 56 eşittir 8 çarpı 7 Başka sayı çiftleri de var tabi 28 çarpı 2 ama 8 ve 7 hemen aklıma geldiler çünkü birbirlerine çok yakın sayılar. Ve bizim de birbirine yakın sayılara ihtiyacımız var. Ve bunlardan birisi negatif diğeriyse pozitif olmalı. Toplamlarının negatif olması bana büyük sayının negatif olduğunu gösteriyor. eksi 8 çarpı 7 eşittir eksi 56 Ve eksi 8 artı 7 eşittir eksi 1 Bu da buradaki katsayımızın ta kendisi.Evet bunlar O zaman bu denklemi çarpanlarına ayırırsam nasıl yazardım? Evet (x eksi 8) çarpı (x artı 7) olarak yazarım.Değil mi? Bu konu genelde insanların cebirde en zorlandığı konulardan biridir.Tüm çarpanlara bakıp negatif ve pozitif işaretlerine dikkat etmeli, hangi çarpanlar biri negatif biri pozitif iken toplamda x teriminin katsayısını veriyor görebilmelisiniz. Daha çok alıştırma yaptıkça bunun alışkanlık haline geldiğini göreceksiniz.Evet şimdi çıtayı biraz yükseltelim. Şu ana kadarki örneklerimizde x kare terimimizin katsayısı hep artı 1 idi. Peki eksi x kare eksi 5x artı 24 dersek Bunu nasıl yaparız? En kolay yolu eksi1 çarpanına ayırmak böylece daha önceki örnekler gibi olacak evet bu da, eksi 1 çarpı (xkare artı 5x eksi 24) ile aynı oluyor.Öyle değilmi? Eksi 1 çarpanını ayırdık. Eksi 1'i bu ifade ile çarparsanız sonucun bu hale geldiğini göreceksiniz.Ya da eksi 1 çarpanına ayırıp eksi 1'e bölebilirsiniz. Yine aynı şekilde yapıyoruz.Çarpımı eksi 24 olan iki sayıya ihtiyacım var. Biri pozitif diğeri negatif olacak. Toplamları ise 5 olmalı Mesela 24 ve 1 Eğer eksi 1 ve 24 olsaydı toplam 23 olurdu.Tam tersi olsaydı sonuç eksi 23 olurdu.Bu olmaz Peki 2 ve 12? Unutmayın sayılardan birinin bir tanesinin negatif olması gerekiyor.Eğer 2 negatif ise toplam 10 olur.Eğer 12 negatif ise toplam eksi 10 olur.Yine olmadı. 3 ve 8. Eğer 3 negatif ise toplam 5 olur.O zaman bu olur! Eğer eksi 3 ve 8'i alırsak demek ki oluyormuş. Çünkü eksi 3 artı 8 eşittir 5 Eksi 3 çarpı 8 bu da 24 Bu arada dışarıda bir eksi 1 bıraktığımız unutmayalım.Sonra içini çarpanlarına ayırıyoruz. Evet eksi 1 çarpı (x eksi 3) çarpı(x artı 8). Eğer isterseniz bu kısmı eksi 1 ile çarpıp 3 eksi x olarak yazabilirsiniz ama gerek yok tamam Bir tane daha yapalım. Evet ne kadar alıştırma yaparsak o kadar iyi. Değil mi? eksi x kare, artı 18x eksi 72 evet, Yine eksi1 çarpanını ayırıyorum.Yani bu eksi 1 çarpı (x kare eksi 18x artı 72) oluyor.Evet Çarptığımızda 72 elde edeceğimiz iki sayı düşünmemiz gerek.O zaman ikisinin de işaretleri aynı olmalıdır. Yani çarptığım zaman artı 72 elde etmem lazım Topladığımda da eksi 18 çıkması lazım İşaretleri aynı ve toplamları negatif evet o zaman ikisi de negatif olmalılar. 72'nin tüm çarpanlarını yazabiliriz.Evet İlk olarak 8 çarpı 9 diye düşünebilirsiniz ama 8 kere 9 eksi 8 çarpı eksi 9 ya da (eksi 8) artı (eksi 9) olmuyor. Evet ... Sonuç 17 oluyor.Yakın bir sonuç (eksi 9) artı (eksi 8) eşittir eksi 17 evet başka neler var? 6 ve 12 var değil mi? Bu gayet uygun görünüyor.( eksi 6) artı ( eksi 12) eşittir eksi 18 evet, burada farklı çarpanları denemeniz gerekiyor. Evet eksi 1 çarpı (x eksi 6) çarpı (x eksi 12) bu kadar.