If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir

Konu: Cebir  > Ünite 15

Ders 6: İkinci Dereceden İfadeleri Gruplama Yöntemiyle Çarpanlarına Ayıralım
Matematik
Cebir
Çarpanlara Ayırma
İkinci Dereceden İfadeleri Gruplama Yöntemiyle Çarpanlarına Ayıralım
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Gruplama Yöntemiyle Çarpanlarına Ayıralım

Google Classroom
"Gruplama" olarak adlandırılan çarpanlarına ayırma yöntemini, örneğin, 2x²+8x+3x+12'yi (2x+3)(x+4) olarak çarpanlarına ayırmak için gruplamayı nasıl kullanabileceğimizi öğrenelim.

Bu ders için bilmeniz gerekenler

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.
Şimdiye kadar, çarpanlara ayırmaya ilişkin pek çok örnek gördük. Bununla birlikte, bu makale için özellikle dağılma özelliğini kullanarak ortak çarpanları bulma konusunu iyi biliyor olmalısınız. Örneğin, 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis .

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu makalede, gruplama adı verilen bir çarpanlara ayırma yönteminin nasıl kullanılacağını öğreneceğiz.

Örnek 1: 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12'yi çarpanlarına ayırma

Önce, 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12'de tüm terimlerde ortak olan bir çarpan olmadığına dikkat edin. Bununla birlikte, eğer ilk iki terimi ve son iki terimi gruplarsak, her grubun kendi EBOB'u veya en büyük ortak böleni olur:
İlk gruplamada 2, x EBOB'u ve ikinci gruplamada 3 EBOB'u vardır. Bu çarpanları dışarı alarak, aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Bunun iki terim arasındaki başka bir ortak çarpanı açığa çıkardığına dikkat edin: start color #e07d10, x, plus, 4, end color #e07d10. Dağılma özelliğini kullanarak, bu ortak çarpanı parantezin başına alabiliriz.
Polinom artık iki iki terimlinin çarpımı olarak ifade edilmiş olduğundan, çarpanlarına ayrılmış formdadır. Yaptıklarımızı, çarparak ve orijinal polinomla karşılaştırarak kontrol edebiliriz.

Örnek 2: 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8'i çarpanlarına ayırma

Yukarıda başka bir polinomu çarpanlara ayırarak ne yapıldığını özetleyelim.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Terimleri gruplayın=3x(x+2)+4(x+2)EBOB’ları parantezin dışına alın=3x(x+2)+4(x+2)Ortak bo¨len!=(x+2)(3x+4)x+2çarpanını parantezin dışına alın \begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{Terimleri gruplayın}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{EBOB'ları parantezin dışına alın}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{Ortak bölen!}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{ x+2 \text{çarpanını parantezin dışına alın }}} \end{aligned}
Çarpanlarına ayrılmış formu left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis'tür.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8'i çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

2) 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4'ü çarpanlarına ayırın.

3) 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3'ü çarpanlarına ayırın.

Örnek 3: 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8'i çarpanlarına ayırma

Katsayıları negatif olan bir polinomu çarpanlara ayırırken gruplama yöntemini kullanırken çok dikkateli olmalıyız.
Örneğin, 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8'i çarpanlara ayırmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)Terimleri gruplayın(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)EBOB’ları parantezin dışına alın(3)=3x(x−2)−4(x−2)Sadeleştirin(4)=3x(x−2)−4(x−2)Ortak bo¨len!(5)=(x−2)(3x−4) x−2 çarpanını parantezin dışına alın\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{Terimleri gruplayın}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{EBOB'ları parantezin dışına alın}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{Sadeleştirin}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{Ortak bölen!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{ $x-2$ çarpanını parantezin dışına alın}}}\\\\ \end{aligned}
Polinomun çarpanlarına ayrılmış formu left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis'tür. Yaptıklarımızı kontrol etmek için iki terimlileri çarpabiliriz.
Yukarıdaki adımlardan bazıları ilk örnekte gördüğünüzden farklı gözükebilir ve dolayısıyla bazı sorularınız olabilir.
Gruplar arasındaki "+" işareti nereden geldi?
Adım start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd'de, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis ve left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis gruplarının arasına bir "+" işareti eklenmişti. Bunun nedeni üçüncü terimin left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis negatif olmasıdır ve terimin işareti gruplamaya dahil edilmelidir.
İkinci gruplamanın başındaki eksi işaretini korumak dikkat gerektirir. Örneğin, sık yapılan bir hata 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8'i left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis şeklinde gruplamaktır. Ancak, 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c şeklinde sadeleşen bu gruplama, orijinal ifadeyle aynı değildir.
Neden 4 yerine minus, 4 çarpanını dışarı aldık?
Adım start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd'de, terimler arasındaki left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis ortak çarpanını açığa çıkarmak için bir minus, 4 çarpanını dışarı aldık. Eğer bunun yerine bir pozitif 4 çarpanını parantezin dışına almış olsaydık, yukarıda görülen iki terimli ortak çarpanı elde etmeyecektik:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Bir gruptaki başkatsayı negatif olduğunda, genelde negatif bir ortak çarpanı parantezin dışına almamız gerekir.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

4) 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6'yı çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

5) 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10'u çarpanlarına ayırın.

6) 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2'yi çarpanlarına ayırın.

Zor problem

7*) 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15'i çarpanlarına ayırın.

Gruplama yöntemini ne zaman kullanabiliriz?

Gruplamalar arasında ortak bir çarpan olduğunda, polinomları çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemi kullanılabilir.
Örneğin, 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6'yı çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz, çünkü bu aşağıdaki gibi yazılabilir:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
Ancak 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12'yi çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanamayız, çünkü bu gruplamaların her ikisinden EBOB'u parantezin dışına almak ortak bir çarpan vermez!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Üç terimlileri çarpanlara ayırmak için gruplamayı kullanma

Ayrıca, 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3 gibi belirli üç terimlileri çarpanlara ayırmak için gruplamayı kullanabilirsiniz. Bunun nedeni, ifadeyi aşağıdaki gibi tekrar yazabilmemizdir:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Daha sonra, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3'ü gruplama yöntemini kullanarak left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis şeklinde çarpanlara ayırırız.
Bunlar gibi üç terimlileri gruplama yöntemini kullanarak çarpanlara ayırma hakkında daha fazla bilgi için, sonraki makaleyi okumanızı öneririz.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.