If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Baş Katsayısı 1 Olmayan İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım

İkinci dereceden ifadeleri, iki doğrusal iki terimli ifadenin (binom) çarpımı olarak çarpanlara ayırmayı, örneğin, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3) eşitliğini yazmayı öğrenelim.

Bu dersten önce bilmeniz gerekenler

Gruplama yöntemi, 4 terimli polinomları ortak çarpanları birkaç kez dışarı alarak çarpanlara ayırmak için kullanılabilir. Eğer bu konu sizin için yeniyse, gruplayarak çarpanlarına ayırmaya giriş konulu makalemizi gözden geçirebilirsiniz.
Ayrıca, devam etmeden önce baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırma konulu makalemizi okumanızı öneririz.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu makalede, 2x2+7x+3 gibi, baş katsayısı 1'den farklı olan ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanacağız.

Örnek 1: 2x2+7x+3 ifadesini çarpanlarına ayıralım

(2x2+7x+3) ifadesinin baş katsayısı 2 olduğundan, ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için toplam-çarpım yöntemini kullanamayız.
2x2+7x+3 ifadesini çarpanlarına ayırmak için, bunun yerine, çarpımı 23=6 (baş katsayı çarpı sabit terim) ve toplamı 7 (x'in katsayısı) olan iki tamsayı bulmalıyız.
16=6 ve 1+6=7 olduğundan, sayılar 1 ve 6'dır.
Bu iki sayı orijinal ifadedeki x'li terimi nasıl ayıracağımızı bize söyler. Buna göre, polinomumuzu 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3 şeklinde ifade edebiliriz.
Ve artık, polinomu çarpanlara ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Terimleri gruplayın=x(2x+1)+3(2x+1)En büyük ortak çarpanları dışarı alın=x(2x+1)+3(2x+1)Ortak çarpan!=(2x+1)(x+3)2x+1 parantezine alın
Polinomun çarpanlarına ayrılmış hali: (2x+1)(x+3).
Yaptıklarımızı, çarpanların çarpımının 2x2+7x+3 olduğunu göstererek kontrol edebiliriz.

Özet

ax2+bx+c formundaki ikinci dereceden bir ifadeyi çarpanlara ayırmak için genel olarak aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
  1. Çarpımları ac ve toplamları b olan iki sayı bularak başlayın.
  2. Bu sayıları x'li terimi ayırmak için kullanın.
  3. İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayırmak için gruplama yapın.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) 3x2+10x+8 ifadesini çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

2) 4x2+16x+15 ifadesini çarpanlarına ayırın.

Örnek 2: 6x25x4 ifadesini çarpanlara ayıralım

6x25x4 ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımı 6(4)=24 ve toplamı 5 olan iki tamsayı bulmalıyız.
3(8)=24 ve 3+(8)=5 olduğundan, sayılar 3 ve 8'dir.
Şimdi 5x terimini 3x ile 8x'in toplamı olarak yazabilir ve polinomu çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Terimleri gruplayın(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)En büyük ortak çarpanları dışarı alın(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Sadeleştirin(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Ortak çarpan!(5)=(2x+1)(3x4)2x+1 parantezine alın 
İfadenin çarpanlarına ayrılmış hali: (2x+1)(3x4).
Yaptıklarımızı, çarpanların çarpımının 6x25x4 olduğunu göstererek kontrol edebiliriz.
Dikkatli olun: Yukarıdaki (1). adımda, üçüncü terim negatif olduğundan, ifadenin orijinal ifadeyle denk olmasını sağlamak için gruplar arasına bir "+" konduğuna dikkat edin. Ayrıca, (2). adımda 2x+1 ortak çarpanını elde etmek için ikinci gruptan negatif bir en büyük ortak çarpanı dışarı almamız gerekti. Kullandığınız işaretlere dikkat edin!

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

3) 2x23x9 ifadesini çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

4) 3x22x5 ifadesini çarpanlarına ayırın.

5) 6x213x+6 ifadesini çarpanlarına ayırın.

Bu yöntem ne zaman yararlıdır?

Bu yöntem, a1 olduğunda dahi, ax2+bx+c formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlara ayırmak için yararlı olur.
Bununla birlikte, bu formdaki ikinci dereceden bir ifadeyi bu yöntemi kullanarak çarpanlara ayırmanın her zaman mümkün olmadığını da bilmelisiniz.
Örneğin, 2x2+2x+1 ifadesini ele alalım. İfadeyi çarpanlarına ayırmak için, çarpımı 21=2 ve toplamı 2 olan iki tamsayı bulmalıyız. İsterseniz deneyin, böyle iki tamsayı bulamayacaksınız.
O halde, yöntemimizin 2x2+2x+1 ve diğer bazı ikinci dereceden ifadeler için işe yaramadığını söyleyebiliriz.
Bununla birlikte, eğer bu yöntem işe yaramıyorsa, ifadenin (Ax+B)(Cx+D) şeklinde çarpanlara ayrılamayacağını aklımızdan çıkarmamalıyız (burada A, B, C ve D tamsayıdır).

Bu yöntem neden işe yarıyor?

Bu yöntemin neden işe yaradığını anlamak için derinlere dalalım. Burada pek çok harf kullanmak zorunda kalacağız, bizi lütfen hoş görün!
İkinci dereceden ax2+bx+c ifadesinin (Ax+B)(Cx+D) şeklinde çarpanlara ayrılabildiğini varsayalım, burada A, B, C ve D tamsayıdır.
Eğer parantezi açarsak, ikinci dereceden (AC)x2+(BC+AD)x+BD ifadesini elde ederiz.
Bu ifade ax2+bx+c ile denk olduğundan, iki ifadede karşılık gelen katsayılar birbirine denk olmalıdır! Bu, bilinmeyen tüm harfler arasında aşağıdaki ilişkinin olduğunu belirtir:
Şimdi, m=BC ve n=AD eşitliklerini tanımlayalım.
Bu tanıma göre...
  • m+n=BC+AD=b ve
  • mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac.
Buna göre, BC ve AD bu çarpanlarına ayırma yöntemini kullandığımızda aradığımız iki tamsayıdır!
Yöntemde m ve n'yi bulduktan sonraki adım, x'in katsayısını (b), m ve n'ye göre ayırmak ve gruplamayı kullanarak çarpanlara ayırmaktır.
Gerçekten, eğer x terimini (BC+AD)x, (BC)x+(AD)x olarak ayırırsak, ifademizi (Ax+B)(Cx+D) olarak çarpanlara ayırmak için gruplamayı kullanabileceğiz.
Sonuç olarak, bu bölümde...
  • Açılmış genel bir ifade olan ax2+bx+c ve bunun genel çarpanlarına ayrılmış genel formu olan (Ax+B)(Cx+D) ile başladık,
  • mn=ac and m+n=b olacak şekilde iki sayı bulduk (m ve n), (bu sayıları m=BC ve n=AD eşitliklerini tanımlayarak elde ettik),
  • x'li terimi bx'i mx+nx olarak ifade ettik ve açılmış ifadeyi (Ax+B)(Cx+D) şeklinde çarpanlarına ayırdık.
Bu süreç, eğer bir ifade gerçekten (Ax+B)(Cx+D) olarak çarpanlara ayrılabiliyorsa, yöntemimizin bunun çarpanlara ayrılmış formu bulmamızı neden garantileyeceğini gösterir.
Sonuna kadar bizimle olduğunuz için çokkk teşekkürler!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.