İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayırma: Kareler Farkı

"Kareler farkı" formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlara ayırmayı öğrenin. Örneğin, x²-16'yı (x+4)(x-4) olarak yazın.
Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.
Bu makalede, belirli polinomları çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanmayı öğreneceğiz. Eğer kareler farkı formülünü bilmiyorssanız, lütfen devam etmeden önce videomuzu izleyin.

Giriş: Kareler farkı formülü

Kareler farkı olan her polinom aşağıdaki formül uygulanarak çarpanlara ayrılabilir:
a2b2=(a+b)(ab)\blueD{a}^2-\greenD{b}^2=(\blueD a+\greenD b)(\blueD a-\greenD b)
Dikkat ederseniz, formüllerde aa ve bb herhangi bir cebirsel ifade olabilir. Örneğin, a=xa=x and b=2b=2 için bunu elde ederiz:
x222=(x+2)(x2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
x24x^2-4 polinomu şimdi çarpanlarına ayrılmış formunda, (x+2)(x2)(x+2)(x-2) şeklinde ifade edilmiştir. Çarpanlara ayırmayı doğrulamak için, bu denklemin sağ tarafını açabiliriz:
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Şimdi bu formülü anladığımıza göre, bunu birkaç polinomu daha çarpanlarına ayırmak için kullanalım.

Örnek 1: x216x^2-16'yı çarpanlara ayırma

Hem x2x^2 hem 1616 tamkaredir, çünkü x2=(x)2x^2=(\blueD{x})^2 ve 16=(4)216=(\greenD{4})^2'dir. Başka şekilde ifade edersek:
x216=(x)2(4)2x^2-16 =(\blueD {x})^2-(\greenD{4})^2
İki kare çıkarılıyor olduğundan, bu polinomun bir kareler farkını temsil ettiğini görebiliyoruz. Bu ifadeyi çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanabiliriz:
a2b2=(a+b)(ab)\blueD{a}^2-\greenD{b}^2=(\blueD a+\greenD b)(\blueD a-\greenD b)
Bizim durumumuzda, a=x\blueD a=\blueD x ve b=4\greenD b=\greenD 4'tür. Dolayısıyla, polinom aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:
(x)2(4)2=(x+4)(x4)(\blueD{x})^2-(\greenD{4})^2=(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)
Yaptıklarımızı, bu iki çarpanın çarpımının x216x^2-16 olduğunu göstererek kontrol edebiliriz.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Düşündürücü soru

Örnek 2: 4x294x^2-9'u çarpanlara ayırma

Kareler farkı formülünü kullanmak için, başkatsayının 11'e eşit olması gerekmez. Aslında, kareler farkı formülü burada kullanılabilir!
Bunun nedeni hem 4x24x^2 hem 99'un tamkare olmasıdır, çünkü 4x2=(2x)24x^2=(\blueD{2x})^2 ve 9=(3)29=(\greenD{3})^2'dir. Bu bilgiyi, polinomu kareler farkı formülünü kullanarak çarpanlara ayırmak için kullanabiliriz:
4x29=(2x)2(3)2=(2x+3)(2x3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Çarparak yapılacak hızlı bir kontrol, cevabımızı doğrular.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Zor problemler

Yükleniyor