If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir

Konu: Cebir  > Ünite 15

Ders 8: İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Kareler Farkı
Matematik
Cebir
Çarpanlara Ayırma
İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Kareler Farkı
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Kareler Farkı

Google Classroom
"Kareler farkı" formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmayı, örneğin, x²-16'yı (x+4)(x-4) olarak yazmayı öğrenelim.
Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.
Bu makalede, belirli polinomları çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanmayı öğreneceğiz. Eğer kareler farkı formülünü bilmiyorssanız, lütfen devam etmeden önce videomuzu izleyin.

Giriş: Kareler farkı formülü

Kareler farkı olan her polinom aşağıdaki formül uygulanarak çarpanlara ayrılabilir:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Dikkat ederseniz, formüllerde a ve b herhangi bir cebirsel ifade olabilir. Örneğin, a, equals, x and b, equals, 2 için bunu elde ederiz:
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
x, squared, minus, 4 polinomu şimdi çarpanlarına ayrılmış formunda, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis şeklinde ifade edilmiştir. Çarpanlara ayırmayı doğrulamak için, bu denklemin sağ tarafını açabiliriz:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Şimdi bu formülü anladığımıza göre, bunu birkaç polinomu daha çarpanlarına ayırmak için kullanalım.

Örnek 1: x, squared, minus, 16'yı çarpanlara ayırma

Hem x, squared hem 16 tamkaredir, çünkü x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared ve 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared'dir. Başka şekilde ifade edersek:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
İki kare çıkarılıyor olduğundan, bu polinomun bir kareler farkını temsil ettiğini görebiliyoruz. Bu ifadeyi çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanabiliriz:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Bizim durumumuzda, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd ve start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54'tür. Dolayısıyla, polinom aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Yaptıklarımızı, bu iki çarpanın çarpımının x, squared, minus, 16 olduğunu göstererek kontrol edebiliriz.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) x, squared, minus, 25'i çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

2) x, squared, minus, 100'ü çarpanlarına ayırın.

Düşündürücü soru

3) x, squared, plus, 25'i çarpanlara ayrmak için kareler farkı formülünü kullanabilir miyiz?
1 cevap seçin:

Örnek 2: 4, x, squared, minus, 9'u çarpanlara ayırma

Kareler farkı formülünü kullanmak için, başkatsayının 1'e eşit olması gerekmez. Aslında, kareler farkı formülü burada kullanılabilir!
Bunun nedeni hem 4, x, squared hem 9'un tamkare olmasıdır, çünkü 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared ve 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared'dir. Bu bilgiyi, polinomu kareler farkı formülünü kullanarak çarpanlara ayırmak için kullanabiliriz:
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Çarparak yapılacak hızlı bir kontrol, cevabımızı doğrular.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

4) 25, x, squared, minus, 4'ü çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

5) 64, x, squared, minus, 81'i çarpanlarına ayırın.

6) 36, x, squared, minus, 1'i çarpanlarına ayırın.

Zor problemler

7*) x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9'u çarpanlarına ayırın.

8*) 4, x, squared, minus, 49, y, squared'yi çarpanlarına ayırın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.