If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir

Konu: Cebir  > Ünite 15

Ders 9: İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Tam Kare
Matematik
Cebir
Çarpanlara Ayırma
İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Tam Kare
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Tam Kare

Google Classroom
"Tamkare" formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmayı, örneğin, x²+6x+9'u (x+3)² olarak yazmayı öğrenelim.
Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.
Bu makalede, tamkare üç terimlileri özel formülleri kullanarak nasıl çarpanlara ayıracağımızı öğreneceğiz. Bu, bir iki terimlinin karesini alma sürecini tersine çevirir, dolayısıyla devam etmeden önce bunu iyice anlamak isteyeceksiniz.

Giriş: Tamkare üç terimlileri çarpanlarına ayırma

Herhangi bir iki terimliyi açmak için, aşağıdaki formüllerden birisini uygulayabiliriz.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Dikkat ederseniz, formüllerde a ve b herhangi bir cebirsel ifade olabilir. Örneğin, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared'yi açmak istediğimizi varsayalım. Bu durumda, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd ve start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54'tir ve bunu elde ederiz:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Bu formülü, çarpmayı kullanarak left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared'yi açarak kontrol edebilirsiniz.
Bu açma sürecinin tersi, çarpanlara ayırmanın bir türüdür. Eğer denklemleri ters sırayla tekrar yazarsak, a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared formundaki polinomları çarpanlara ayırmak için formüller elde edeceğiz.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
x, squared, plus, 10, x, plus, 25'i çarpanlara ayırmak için ilk formülü kullanabiliriz. Burada start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd ve start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54'tir.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Bu formdaki ifadeler tamkare üç terimliler olarak adlandırılır. İsim, bu tip üç terimli polinomların, bir tamkare olarak ifade edilebileceğini belirtir.
Bu formülü kullanarak tam kare üç terimlileri çarpanlarına ayırdığımız birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1: x, squared, plus, 8, x, plus, 16'yı çarpanlara ayırma

Hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared ve 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Bu bize polinomun bir tamkare üç terimli olduğunu söyler, dolayısıyla aşağıdaki çarpanlara ayırma formülünü kullanabiliriz.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Bizim durumumuzda, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd ve start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54'tür. Polinomumuzu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Yaptıklarımızı left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared'yi açarak kontrol edebiliriz:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) x, squared, plus, 6, x, plus, 9'u çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

2) x, squared, minus, 6, x, plus, 9'u çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

3) x, squared, plus, 14, x, plus, 49'u çarpanlarına ayırın.

Örnek 2: 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9'u çarpanlara ayırma

Bir tamkare üç terimlinin başkatsayısının 1 olması şart değildir.
Örneğin, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9'da hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared ve 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Bu yukarıdaki koşulları sağladığından, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 bir tamkare üç terimlidir. Aşağıdaki çarpanlara ayırma formülünü tekrar uygulayabiliriz.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Bizim durumumuzda, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd ve start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54'tür. Polinom aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Yaptıklarımızı left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared'yi açarak kontrol edebiliriz.

Anlamış olduğumuzu kontrol etme

4) 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25'i çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

5) 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25'i çarpanlarına ayırın.

Zor problemler

6*) x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1'i çarpanlarına ayırın.

7*) 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared'yi çarpanlarına ayırın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.