Tam Kareleri Çarpanlarına Ayıralım

25 x kare, eksi 30 x, artı 9 işlemini çarpanlarına ayırın. Öncelikle, baş katsayımız 1 değil. Bu sayıların ortak bölenleri yok gibi gözüküyor. 25 ve 30, 5'e tam bölünüyor ama 9 bölünmüyor. Bunu gruplayarak çarpanlara ayırabiliriz. Ama biraz dikkatli bakarsak ilginç bir şey göreceğiz. 25, bir tam kare ve 25x kare de bir tam kare. 5x'in karesi. Ayrıca, 9 da bir tam kare. 3'ün ya da -3'ün karesi olabilir. 25x kare de, -5x in karesi olabilirdi. Bu ifade belki bir tam kare çıkabilir. Şimdi düşünelim. İki terimli bir denklemin karesini aldığımızda ne olur? Özellikle de x'in katsayısı 1 değilse. ax artı b'nin karesini açtığımızda, ortaya çıkacak üç terimli denklem nasıl olacak, Bu ifade, ax artı b ile, ax artı b'nin çarpımına eşit. ax çarpı ax, yani a kare x kare; artı, ax çarpı b yani abx, artı b çarpı ax yani bax bu da abx'e eşit; artı b çarpı b, yani b kare. İki terimli bir denklemin karesinin nasıl alındığını gördük. Şimdi sorumuzu tekrar yazalım. 25 x kare, eksi 30x, artı 9. Bu bir tam kare. Bu da demek oluyor ki, a'nın karesi buradaki 25'e eşit. b kare olan kısım da 9'a eşit. Yani a, artı ya da eksi 5 olabilir; b de, artı ya da eksi 3 olmalı. Bakalım bunlar ortadaki terimi karşılayacak mı? 2ab , -30'a eşit olmalı. Her iki tarafı da 2'ye bölersek, a çarpı b eşittir -15 olacak. Sonuç negatif bir ifade olduğu için, çarpanlardan birinin eksi, diğerinin de artı olması gerekiyor. Şansımıza, 3 çarpı 5 eşittir 15 oldu. Çarpanlardan birini eksi, diğerini de artı olarak alırsak, çarpımları -15'e eşit olacak. Bu durumda, a'yı 5, b'yi de -3 diyebiliriz. Bu durumda, a'yı 5, b'yi de -3 diyebiliriz Bunu çarpanlara ayırırsak ikisi de olur. Bir tanesi için deneyelim. a eşittir 5 ve b eşittir -3. 5x eksi 3'ün karesi. İşaretleri değişebilir. a, -5, b de 3 olabilir. İfademiz, -5x, artı 3'ün karesi de olabilir. Bu ifadeyi çarpanlara ayırmayı iki yolla da yapabiliriz. diyebilirsiniz ki Bulduğumuz iki denklemin de karesi nasıl aynı ifadeye eşit oluyor -5 x artı 3'ün ortak çarpanı -1. Yani bu, -1 çarpı, 5x eksi 3 demek. Bunun tamamının karesini aldığımızda… 5x eksi 3'ün karesi ve -1'in karesinin çarpımına eşit olacak. -1 in karesi, 1'e eşit. Bu yüzden, biraz önce bulduğumuz iki ifade birbirine eşit olacak. Cevabımız her ikisi de olabilir.