İkinci Dereceden Denklemlerin Grafiğini Çizelim: Standart Form

Bu denklemin grafiğini çizmemiz isteniyor: y eşittir 5x kare eksi 20x artı 15 Çalışma kağıdımızı çıkaralım ve bunu yazalım. y eşittir 5x kare eksi 20x artı 15 Bunun grafiğini çizmek için pek çok yöntem var. x için 3 değer seçip bunlara karşılık gelen y değerlerini bulabiliriz. Bulduğumuz noktalar da parabolü oluşturur. Ama ben farklı bir yol izleyeceğim. Bunlar eksenlerimiz olsun, burası x ekseni burası da y ekseni. Eğrimiz de bu olsun, bir parabol bunun gibi gözükür. Önce, bu parabolün x eksenini nerede kestiğini bulmak istiyorum. Bu parabolün x eksenini kestiği noktalar, y'nin değerinin sıfır olduğu yerler. Başka bir deyişle, burası, yani 5x kare artı 20x artı 15 sıfıra eşit olacak. Bu iki noktayı ve aralarındaki tepe noktasını, burayı bulmak istiyorum. Parabolün grafiğini çizebilmek için bu üç noktaya ihtiyacımız var. Ama bunu yapabilmek için, önce denklemi çözelim. 5x kare eksi 20x artı 15 eşittir 0 olacak. Denklemi biraz sadeleştirmek istiyorum Buradaki her terim 5 ile bölünebilir gibi görünüyor. Denklemin her iki tarafını da 5 ile bölelim. Bunlar sadeleşiyor, x kare, eksi 20 bölü 5, yani 4, 4x oldu burası, Artı 15 bölü 5, 3 Eşittir 0 bölü 5 yani 0. Şimdi denklemin sol tarafına tekrar bakalım. İki tane sayı var, bunların çarpımı artı 3. Çarpımları pozitif olduğuna göre bu sayılardan ikisi de pozitif olmalılar. Toplamları ise eksi 4. Toplamları eksi olduğuna göre, topladığımız sayılar da negatif olmalı. İkinci dereceden denklemlerin köklerini bulmayı tam hatırlamıyorsanız, bu konudaki videolarımıza bir göz atın. Evet, hemen aklımıza gelen ilk sayıları deneyelim, eksi 3 ve eksi 1. Bence bunlar işe yarar. Eksi 3 çarpı eksi 1, 3 eder. eksi 3 artı eksi 1 de eksi 4 eder. Yani bunu (x eksi 3) çarpı (x eksi 1) olarak çarpanlarına ayırabiliriz. Bu da sıfıra eşit. Şimdi bu denklemi sıfıra eşitleyecek değerleri düşünelim. Bu denklemi sıfıra eşitleyen değerler, bu denklemi de sıfıra eşit yapacak. Ki o da bu denklemi sıfıra eşit kılacak. Bu eşitlik, bunlardan herhangi bir tanesi sıfıra eşit olduğunda doğru olur. x eksi 3, 0 veya x eksi 1, 0 olmalı. Bu eşitliğin iki tarafına de 3 ekleyelim. Bu eşitlik x eşittir 3 olduğunda doğru olur. Bu eşitliğin iki tarafına da 1 ekleyebiliriz. Bu eşitlikte x eşittir 1 olduğunda doğru olur. Bu iki noktayı bulmayı başardık. Burada x 1'e eşit. Bu noktada da x 3'e eşit. Yani burası (1,0) noktası ve burası da (3,0) noktası. Son bulmak istediğimiz, buradaki tepe noktası. Kökleri bulduğumuzda, tepe noktasının tam bunların ortasında olacağını biliyoruz. Bu noktanın x değeri 2 olacak. Şimdi x'in değeri 2 iken, y koordinatının değerinin ne olacağını bulalım. Y koordinatını bulmak için, orijinal denklemde x yerine 2'yi koyacağız. X 2'ye eşit olduğunda, Y eşittir 5 çarpı 2'nin karesi eksi 20 çarpı 2 artı 15 Ki bu da eşittir 20 eksi 40 artı 15 Yani burası eksi 20 artı 15 eşittir eksi 5. O zaman grafikteki bu nokta da, (2, eksi 5) olacak. Şimdi alıştırmaya geri dönüp bu üç noktayı işaretleyelim. Önce tepe noktasını işaretleyelim, (2, eksi 5) burada. X eksenini kestiği noktalardan bir tanesi (1,0). X eksenini kestiği diğer nokta da (3,0). Şimdi cevabımızı kontrol edebiliriz. Doğru yapmışız, şahane!