If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

İkinci Dereceden Denklemleri Kareköklerini Alarak Çözelim

x^2=36 or (x-2)^2=49 gibi ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Şimdiye kadar, sabit terimler (düz sayılar) ve değişkenin birinci kuvvetine yükseltildiği (x1=x) terimler içeren doğrusal denklemleri çözdünüz.
Şimdi ikinci dereceden denklemleri nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz, bunlar değişkenin ikinci kuvvetine yükseltildiği (x2) terimler içerirler.
Burada, çözmeyi öğreneceğiniz ikinci dereceden denklem türlerine benzer birkaç örnek bulunuyor:
x2=36
2x2+3=131
Şimdi işe koyulalım.

x2=36 ve benzer denklemlerin çözümü

x2=36 denklemini çözmek istediğimizi varsayın. Önce, denklemin neyi bulmamızı istediğini kelimelerle ifade edelim. Bize hangi sayının kendisiyle çarpıldığında 36'ya eşit olduğu sorulmaktadır.
Bu soru size tanıdık geliyorsa, nedeni bunun 36'nın karekökünün tanımı olmasıdır. Bu matematiksel olarak 36 şeklinde ifade edilir.
Şimdi, denklemin tam çözümü böyle gözükür:
x2=36x2=36Karekökü alın.x=±36x=±6
Bu çözümde neler olduğunu bir daha gözden geçirelim.

± işaretinin anlamı

Her pozitif sayının iki karekökü olduğunu hatırlayın: pozitif bir karekök ve negatif bir karekök. Örneğin, hem 6'nın hem 6'nın karesi 36'ya eşittir. Dolayısıyla, bu denklemin iki çözümü vardır.
±, bunu matematiksel olarak ifade etmenin kolay yoludur. Örneğin ±6, "6 veya 6" anlamına gelmektedir.

Ters işlemlere ilişkin bir not

Doğrusal denklemleri çözerken, ters işlemleri kullanarak değişkeni tek başına bırakıyorduk: Mesela değişkene 3 ekleniyorsa, her iki taraftan 3 çıkarıyorduk. Ya da değişken 4 ile çarpılıyorsa, her iki tarafı 4 ile bölüyorduk.
Kare almanın ters işlemi, karekök almaktır. Bununla birlikte, diğer işlemlerden farklı olarak, karekök aldığımızda hem pozitif hem negatif karekökleri almayı hatırlamalıyız.
Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.
Problem 1
x2=16'yı çözün.
x=±
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

Problem 2
x2=81'i çözün.
x=±
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

Problem 3
x2=5'i çözün.
1 cevap seçin:

(x2)2=49 ve benzer denklemlerin çözümü

(x2)2=49 denkleminin çözümü böyledir:
(x2)2=49(x2)2=49Karekökünü alın.x2=±7x=±7+22 ekleyin.
Çözümler x=9 ve x=5'tir.
Bu çözümde neler olduğunu bir daha gözden geçirelim.

x'i tek başına bırakma

Karekök almanın ters işlemini kullanarak, kare işaretini yok ettik. Bu x'i yalnız bırakmak için önemliydi, ancak x'i gerçekten tek başına bırakmak için o son adımda 2 eklememiz gerekiyordu.

Çözümleri anlamak

İşimiz x=±7+2 ile bitti. Bu ifadeyi nasıl anlamalıyız? ±7'nin "+7 veya 7" anlamına geldiğini hatırlayın. Dolayısıyla, cevabımızı iki duruma göre ayırmalıyız: x=7+2 veya x=7+2.
Bu bize x=9 ve x=5 olarak iki çözüm verir.
Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.
Problem 4
(x+3)2=25'i çözün.
1 cevap seçin:

Problem 5
(2x1)2=9'u çözün.
1 cevap seçin:

Problem 6
(x5)2=7'yi çözün.
1 cevap seçin:

Parantezi açmamamızın nedeni

Örnek denklemimize yani (x2)2=49'a geri dönelim. Oradaki parantezi açmak istediğimizi varsayalım. Ne de olsa, doğrusal denklemlerde yaptığımız buydu, değil mi?
Parantezi açınca aşağıdaki denklemi elde ederiz:
x24x+4=49
Eğer bu denklemde karekök almak isteseydik, x'in karekökünü almamız gerekirdi. Ancak bu bize x'i verir ve bunun bize bir yararı yoktur.
Bunun aksine, x2 veya (x2)2 gibi ifadelerin kareköklerini almak bize x veya (x2) gibi hoş ifadeler verir.
Dolayısıyla, ikinci dereceden denklemlerde ögeleri çarpanlara ayrılmış olarak tutmak yararlıdır, çünkü bu karekök almamıza olanak sağlar.

2x2+3=131 ve benzer denklemlerin çözümü

İkinci dereceden denklemlerin tümü hemen karekök alarak çözülmez. Bazen karekökünü almadan önce, kareli terimi tek başına bırakmak gerekir.
Örneğin, 2x2+3=131 denklemini çözmek için önce x2'yi yalnız bırakmalıyız. Bu, bir doğrusal denklemde x terimini tek başına bıraktığımız gibi yapılır.
2x2+3=1312x2=1283 çıkarın.x2=642’ye bölün.x2=64Karekökünü alın..x=±8
Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.
Problem 7
3x27=5'i çözün.
1 cevap seçin:

Problem 8
4(x1)2+2=38'i çözün.
1 cevap seçin:

Zor Soru
x2+8x+16=9'u çözün.
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.