Çözümlü Örnek: Rasyonel ve İrrasyonel İfadeler

Burada verilen ifadelerin sonuçlarının rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu bulmamız istenmiş Soruya geçmeden önce rasyonel sayının ne olduğunu bir hatırlayalım Rasyonel sayı, Mesela, x rasyonel bir sayı olsun, X, bir rasyonel sayı olsun... Rasyonel bir sayı olabilmesi için x, iki tamsayının birbirine oranı olarak ifade edilebilmeli. Burada olduğu gibi, m ve n iki tamsayı ise, X, M bölü N’ye eşit olabilir. Ama elimizde irrasyonel bir sayı varsa, bu eşitlikten bahsedemeyiz. Evet, rasyonel sayının ne olduğunu hatırladığımıza göre, hafızamızı tazelediğimize göre, şimdi soruya geçelim. 9 rasyonel bir sayıdır. 9’u, 9 bölü 1, 18 bölü 2, Ya da 27 bölü 3 olarak, Yani iki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edebiliriz. Peki, 45’in karekökü hakkında ne düşünüyorsunuz? 45’in karekökünü, 9 ve 5’in çarpımının karekökü olarak yazabiliriz değil mi? Ya da, 9’un karekökü çarpı 5’in karekökü. Peki, bunun sonucu ne olur? 9’un karekökü 3’tür. O halde, 3 çarpı 5’in karekökü Bununla birlikte, bu ifade, 9 artı 3 karekök 5 halini alır. Şimdi bu ifadeyi inceleyelim. 5’in karekökü irrasyoneldir. 3 rasyonel bir sayı olmasına rağmen, rasyonel bir sayının irrasyonel bir sayı ile çarpımı irrasyonel bir sayı verir. Aynen burada olduğu gibi, 3 çarpı 5’in karekökü! Son olarak irrasyonel bir sayı ile rasyonel bir sayıyı topluyoruz, değil mi ? Toplam yine irrasyonel olacaktır. O zaman birinci ifade irrasyoneldir diyebiliriz. Şimdi bu ifadeye geçelim, bakalım burada ne varmış? 45’in karekökünü az önce yazdığımız az önce yazdığımız şekilde yeniden yazabiliriz. Yani karekök içinde 9 çarpı 5. Payda ise 3 karekök 5. Sadeleştirmeye devam edelim ve payı, 9’un karekökü çarpı 5’in karekökü olarak yazalım. Pay, yine aynı. Bu, 3 karekök 5 bölü 3 karekök 5’e eşit olur! Bu bölme işleminin sonucu 1’dir! Ve 1 kesinlikle rasyonel bir sayıdır, öyle değil mi? Çünkü 1, 1 bölü 1 2 bölü 2, 3 bölü 3 şeklinde ifade edilebilir. O halde bu ifade rasyonel bir ifadedir diyebiliriz Ve sıra son ifadeye geldi. Burada 3 çarpı 9’un karekökü var. Peki 9 !un karekökü nedir ? 3 O halde, bu ifadeyi 3 çarpı 3 olarak yeniden yazabilirim. O halde 9, az öncede bahsettiğimiz gibi rasyonel bir sayıdır, Çünkü 9’u 9 bölü 1, 27 bölü 3, Veya 45 bölü 5 olarak ifade edebilirim. Kesinlikle rasyonel bir sayı