İspat: Rasyonel Sayıların Çarpımı ve Toplamı Rasyoneldir

Bu videoda, rasyonel sayıların toplamlarının ya da çarpımlarının da kendileri gibi rasyonel sayı olup olmadığını incelemek istiyorum. Diyelim ki, rasyonel bir sayımız var. Buraya rasyonel sayı yazmak yerine, rasyonel sayıyı iki tam sayının oranı olarak göstermek istiyorum. bu birinci rasyonel sayımız olsun, a bölü b olarak gösteriyorum. Şimdi a bölü b’yi başka bir rasyonel sayı olan c bölü d ile çarpacağım ve sonucun ne olacağını bulmaya çalışacağım. Payda, a çarpı c olacak. Payda da ise b çarpı d olacak. a ve c tam sayı olduğuna göre, çarpımları yani pay tam sayı olur. b ve d de tam sayı oldukları için, paydamız da tamsayı olacak. Yani elimizde iki tam sayının oranı kalacak. Peki, iki tam sayının oranına ne denir? Rasyonel sayı denir, O halde, bu ifadenin rasyonel sayı olacağını söyleyebiliriz. Rasyonel iki sayının çarpımından rasyonel sayı elde edileceğini bulmuş olduk. O zaman sorunun ikinci kısmına geçebiliriz. Şimdi de, rasyonel 2 sayının toplamına bakalım. İlk rasyonel sayımız yine a bölü b olsun. İkinci rasyonel sayı ise c bölü d. Bu iki kesri toplamak için, paydalarının eşit olması gerekir. Ortak paydayı bulmanın en kolay yolu ise b ile d’yi çarpmak olur. O halde, birinci rasyonel sayının payını ve paydasını d ile ikinci rasyonel sayının pay ve paydasını ise b ile çarpmam yeterli olacak. Gördüğünüz gibi paydaları eşitlemiş oldum. O halde toplama işlemini yapabiliriz. ad artı bc bölü bd. Bir önceki örnekten hatırlayacağınız gibi, bd’nin rasyonel sayı olduğunu biliyorduk. Paya bakacak olursak, a çarpı d ve b çarpı c’yi görüyoruz. A çarpı d ve b çarpı c birer tam sayıdır. İki tam sayının toplamının da tam sayı edeceğini bildiğimize göre, payda ve paydada birer tam sayı elde etmiş olduk. Peki iki tam sayının oranı neydi ? Bir rasyonel sayı! Böylece, iki rasyonel sayının toplamından ve çarpımından yine kendileri gibi rasyonel bir sonuç elde edeceğimizi bulmuş olduk! Şahane :)