Ana içerik

Cebir

Konu: Cebir > Ünite 9

Ders 2: Eşdeğer (Denk) Denklem Sistemleri ve Yok Etme Yöntemi

Eşdeğer (Denk) Denklem Sistemleri Tekrar

Çözümleri aynı olan iki denklem sistemi birbirine eşdeğerdir (denktir). Bu makalede, iki sistemin denk olup olmadığının nasıl belirleneceğini ele alacağız.

Çözümleri aynı olan denklem sistemleri, denk sistemler olarak adlandırılırlar.

İki denklemden oluşan bir sistem verildiğinde, denklemlerden birisinin yerine iki denklemin toplamını veya bir denklemin yerine bu denklemin bir katını koyarak, denk bir sistem elde edebiliriz.

Buna karşılık, eğer birisinin çözümünün diğerinin çözümü olmadığını biliyorsak, bu iki denklem sisteminin denk olmadığından emin olabiliriz.

Not: Bu denk denklem sistemleri fikri, doğrusal cebirde de vardır. Bununla birlikte, bu makaledeki örnekler ve açıklamalar lise 1. sınıf cebir dersi için uygundur.

Örnek 1

Bize iki denklem sistemi verilmiş ve bu sistemlerin denk olup olmadığı sorulmuştur.

Sistem A	Sistem B
$\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{array}$ ‍	$\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 3 x - 4 y = 2 \end{array}$ ‍

Eğer Sistem B'deki ikinci denklemi

3

ile çarparsak bunu elde ederiz:

\begin{aligned} 3 x - 4 y & = 2 \\ 3 (3 x - 4 y) & = 3 (2) \\ 9 x - 12 y & = 6 \end{aligned}

Sistem B'deki ikinci denklem yerine bu yeni denklemi koyduğumuzda, denk olan bir sistem elde ederiz:

\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{array}

Buna iyice bakın! Bu sistem, Sistem A ile aynıdır; yani Sistem A Sistem B ile denktir.

Denk denklem sistemlerine ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Örnek 2

Bize iki denklem sistemi verilmiş ve bu sistemlerin denk olup olmadığı sorulmuştur.

Sistem A	Sistem B
$\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}$ ‍

İlginç şekilde, eğer Sistem A'daki denklemleri toplarsak bunu elde ederiz:

\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ + 2 x + 5 y & = - 4 \\ - 7 x + y & = 1 \end{aligned}

Sistem A'daki ilk denklem yerine bu yeni denklemi koyduğumuzda, Sistem A ile denk olan bir sistem elde ederiz:

\begin{aligned} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}

Bir dakika durun! Bu Sistem B'dir, yani Sistem A Sistem B ile denktir.

Örnek 3

Bize iki sistem verilmiş ve birisinin çözümü olan ancak diğerinin çözümü olmayan bir çözüm bularak, bu sistemlerin denk olmadığını ispat etmemiz istenmiştir.

Sistem A	Sistem B
$\begin{aligned} - 4 x + 10 y & = 1 \\ - 1 x - 2 y & = - 3 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} - 9 x - y & = 8 \\ - 1 x - 2 y & = 4 \end{aligned}$ ‍

Her iki sistemin ikinci denklemlerinde

x

y

'nin katsayılarının aynı olduğuna dikkat edin. Bununla birlikte, iki denklemdeki sabit terimler farklıdır!

Sistem A'yı doğru kılan

x

y

değerler çifti Sistem B'yi yanlış kılacaktır ve bunun tersi de geçerlidir.

Örneğin,

x = 1

y = 1

Sistem A'daki ikinci denklem için bir çözümdür, ancak Sistem B'deki ikinci denklem için bir çözüm değildir.

Sistem A ve Sistem B denk değildir.

Denk olmayan denklem sistemlerine ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Alıştırma

Problem 1

Esra ve Ogün'ün öğretmeni, onlara çözmeleri için bir doğrusal denklem sistemi verdi. Her ikisi de bir kaç adım yaptılar ve aşağıdaki tabloda gösterilen sistemleri elde ettiler.

	Öğretmen
	$5 x + 3 y = - 1$ ‍
	$4 x - 9 y = 8$ ‍
Esra		Ogün
$4 x - 9 y = 8$ ‍		$15 x + 9 y = - 3$ ‍
$9 x - 6 y = 7$ ‍		$4 x - 9 y = - 5$ ‍

Kim öğretmenin sistemi ile denk olan bir sistem elde etmiştir?
Eğer sonuçları aynı ise, iki doğrusal denklem sisteminin ''denk'' olduğunu hatırlayın.

Daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.