Doğrusal Denklemlerin Formları

Bir doğru eksi 3'e, 6 ve 6'ya 0 noktalarından geçmektedir.Bu doğrunun denklemini nokta eğim, eğim kesişim ve standart formda bulunuz. Çok güzel. Aynı denklemi yazmak için kullanabileceğimiz üç tane yol var. Eğer bunlardan bir tanesini bulursak, diğerlerine çevirmek çok kolay. Önceki videolardan bunların ne olduğunu biliyorsunuz.Nokta eğim formunda, x1ve y1, bu nokta da doğrunun üzerinde bulunan bir noktayı kullanacağız. Eğer x ve y'ye, 1 veya 2 gibi alt simge eklenirse, doğrunun geçtiği herhangi bir noktanın değerlerini buraya yazabileceğimizi gösterir. Eğer x'e ve y'ye 1 yazıldıysa, bu da belli bir noktanın koordinatları veya belli x ve y'nin değerlerini yazabileceğimiz anlamına gelir. Şimdi bir örnek yapalım daha iyi anlayacaksınız. Nokta-eğim formunu yazmak için, doğrunun üzerindeki bir nokta ve eğimi bilmemiz gereklidir. Ve eğer doğrunun denklemini nokta-eğim formunda yazacaksak, y eksi y1 eşittir m çarpı x eksi x1 diyebiliriz. Bu videoda da bunu yapacağız zaten. Eğer eksi 3'e, 6 noktası doğrunun üzerindeyse, söyle yazabiliriz ki y eksi 6 eşittir m çarpı x eksi eksi 3 evet. Yani belli x ve y değerlerimiz var.Bunlar da eksi 3 ve 6. Bu nokta-eğim formuydu. Eğim-kesişim formu ise y eşittir mx artı b olacak. Burada ki m eğimini ifade ediyor, b ise y kesişim noktasını doğrunun y ekseniyle hangi noktada kesiştiğini yani x 0'a eşitken y'nin değerini gösteriyor. Ve standart formun denklemi ise, ax artı by eşittir c. Aslında burada 2 sayı var.Bunları doğrudan grafiğe çeviremeyiz. Haydi şimdi de tüm bu formların cevaplarını bulalım.Ama ilk olarak eğimi bulmamız lazım. Eğimi bulduktan sonra, nokta-eğim formunu hesaplamak çok kolay . Hatırlayalım, eğim m olarak ifade ediliyordu. Bu de y-eksenindeki değişim bölü x-eksenindeki değişime eşit.Pekala, y eksenindeki değişim miktarı ne kadardır? Burası hedef noktamız olsun, peki bu noktadan buraya gideceğimizi düşünelim. Peki burada y'deki değişim ne kadar? Evet, ilk noktadaki y koordinatı 0, ikinci noktanın ki 6. Yani 0'da bitiyor, 6'dan da başlıyor. Peki bitiş noktasının x koordinatı ne? Bu da 6. Peki yaptıklarımı anlamanız için şimdi üstünden çizerek geçeceğim. Bu 0, buradaki 0. Bu 6 ise, başladığımız y noktası, buradaki 6. Son olarak ikinci y değerini istiyoruz bu da buradaki 6, ve buradaki ve bu değerden başladığımız x değerini çıkarmak istiyoruz. Evet, başlangıçtaki x değeri burada, yani eksi 3. Evet ne yaptığımızı bilerek ilerleyelim. Bu eksi 3 işte buradaki eksi 3. Yani demek istiyorum ki eğer bu noktadan bu noktaya gidersek, y 6'dan aşağıya düşüyor, değil mi? 6'dan 0'a gidiyoruz. 6'dan azalarak gidiyor. Yani 0 eksi 6 eşittir eksi 6.Evet, şimdi mantıklı oldu. y, 6'dan başlayarak azalıyor. Peki eğer bu noktadan bu noktaya gidersek, x'in değişimi ne olacak? Peki eksi 3'ten 6'ya gidiyoruz, yani kaç birim ilerliyoruz ? 9 birim ilerliyoruz.İşleminide yapalım. 6 eksi eksi3, yani bu ne demek? 6 artı 3 demek bu da 9'a eşittir.. Peki ya eksi 6 blü 9 ne? Evet, bunu sadeleştirelim eksi 2 bölü 3 olur. Payı ve paydayı 3'e böldük. Yani burada ki eksi 2 bölü 3 bizim eğimimiz oldu, m değeri oldu. Yani artık nokta- eğim formunu kullanarak denklem kurabiliriz. Bir noktamız var, yani bunlardan bir tanesini seçebiliriz. Mesela eksi 3'e,6 noktasını alalım.Eğimimizi de bulduk. Şimdi de nokta-eğim formuna getirelim. Yapmamız gereken y eksi bu iki noktadan bir tanesini seçeceğim tekrar y eksi buradaki y değeri, yani y eksi 6 eşittir eğim, bu da eksi 2 bölü 3'e eşitti, çarpı x eksi x koordinatı tamam. Evet x değeri, yani eksi 3, x eksi eksi 3 ve bitti.Ama biraz sadeleştirelim. y eksi 6 eşittir eksi 2 bölü 3 çarpı x. Evet x eksi eksi 3 ise x artı 3 ile aynı şey demek. İşte nokta- eğim formunu da oluşturduk. Şimdi de, cebirsel olarak bunu eğim- kesişim formuna dönüştürelim.Birlikte yapalım. Karışmaması için eğim-kesişim formunu turuncu renkte yazalım. İşte bu eğim-kesişim formu. Bunu basitleştirmek için ne yapabiliriz? Evet, parantezi eksi 2 bölü 3 ile çarpalım, yani y eksi 6 eşittir sadece eksi 2 bölü 3 kesrini dağıtıyorum burada.Yani eksi 2 bölü 3 çarpı x eşittir eksi 2 bölü 3x. Ve eksi 2 bölü 3 çarpı 3 ise buda eksi 2. Şimdi de eğim-kesişim formuna dönüştürelim. Sol tarafta y'yi tek bırakmak için, yalnız bırakmak için iki tarafa da 6 ekleyelim. Denklemin her iki tarafına da 6 ekleyelim.Peki, denklemin sol tarafında y kaldı, 6 ve eksi 6 sadeleştiler. Yani y eşittir eksi 2 bölü 3x kaldı. eksi 2 artı 6 eşittir 4. Yani bu bizim eğim-kesişim denklemimiz, mx artı b, b bizim y kesişim noktamız. Yapmamız gereken son işlem ise bu denklem standart formda yazmak. Cebirsel olarak değiştirerek, yani x'leri ve y'leri denklemin bir tarafına toplayarak yapacağız. Pekala kolay. Her iki tarafa da 2 bölü 3x ekleyelim. Buraya yazmaya devam edelim.Yani y eşittir eksi 2 bölü 3x artı 4, bu eğim-kesişim formunda yazılmış denklemimiz. Denklemin her iki tarafına da 2 bölü 3x ekleyelim. Bu işlemde 2 bölü 3x ekliyorum çünkü denklemin sağ tarafında eksi 2 bölü 3x var ve sadeleştirmek istiyorum. Yani bu durumda denklemin sol tarafı ne olacak? İlk olarak denklemin sol tarafını yazarsak, 2 bölü 3x eklemiştik, artı y eşittir, bunlar sadeleşiyor, 4. Bu da denklemin standart form şeklinde yazılmış hali. Eğer daha düzgün yazmak isterseniz, kesirsiz de yapabiliriz. Bu denklemin her iki tarafını da 3 ile çarparız. Peki bunu yaparsak ne olur? 23x çarpı 3 eşittir 2x. y çarpı 3 eşittir 3y.Ve son olarak 4 çarpı 3 eşittir 12. Evet bu denklem bir öncekinin aynısı ama bunda sadece her terimi 3 ile çarptık. Eğer bu işlemi sol tarafa uygularsanız, sağ tarafa da uygulamak zorundasınız. Ve işte bu da standart form halinde yazılmış denklemimiz.